Escreva a integral tripla I=integralegral duplaR integral(3+2 y) d V, onde R é uma região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados.
Em coordenadas cilindricas

Passo 1

O enunciado nos pede para escrever em coordenadas cilíndricas a integral tripla
I ;=;integral triplaR;(3+2y);dV,
onde R está no primeiro octante e é limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados. Para isso vamos usar
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, dV = r,dz,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região R fica descrita por
0 <= theta <= tfracpi2, 0 <= r <= 1, 0 <= z <= r,
pois thetain[0,pi/2] dá o primeiro octante, o cilindro é r=1 e o cone é z=r.

Passo 3

O integrando transforma-se assim:
3 + 2y = 3 + 2,rsintheta,
e o elemento de volume é
dV = r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Reunindo tudo, a integral em coordenadas cilíndricas é
I = integraltheta=0^pi2 integralr=0^1 integralz=0^r l(3 + 2rsinthetar),r ;dz,dr,dtheta

Resposta

I = integral0^pi2 integral0^1 integral0^r l(3 + 2rsinthetar),r ;dz,dr,dtheta

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