Encontre uma solução explícita para cada PVI abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida
(1+cos (x)) d yd x=(e^-y+1) sen(x), y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(1+cos(x)),dydx = l(e^-y+1r),sen(x), y(0)=0
e pede uma solução explícita em um intervalo aberto contendo x0=0. Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por (1+cos x),(e^-y+1):
1e^-y+1,dy ;=;sen(x)1+cos(x),dx

Passo 3

Calculemos a integral do lado esquerdo. Observando que
1e^-y+1 =e^ye^y+1,
fazemos a substituição u=e^y+1, du=e^y,dy, e obtemos
integral 1e^-y+1,dy =integral e^ye^y+1,dy =integral duu =lnl(e^y+1r)+C1

Passo 4

Agora a integral do lado direito:
integral sen(x)1+cos(x),dx
Usando a identidade
sen(x)1+cos(x) = tanl(x2r),
temos
integral tanl(x2r),dx =2integral tan(u),dul(u=tfracx2r) =-2lnl|cos(u)r|+C2 =-2lnl|cos(tfracx2)r|+C2

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo C1-C2 num único C):
lnl(e^y+1r) =-2lnl|cos(tfracx2)r|+C Longrightarrow e^y+1 = A,sec^2!l(tfracx2r),
onde A=e^C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Como cos(0/2)=1,
e^0+1 = Acdot1 Longrightarrow 2 = A
Logo
e^y+1 = 2,sec^2!l(x2r) Longrightarrow e^y = 2,sec^2!l(x2r)-1,
e finalmente
y(x) = ln!l(2,sec^2!l(tfracx2r)-1r)

Passo 7

O denominador cos(x/2) não pode se anular. Como cos(x/2)=0 em x=pi+2kpi, escolhemos um intervalo aberto que contenha 0 e fique livre dessas singularidades, por exemplo
I = (-pi,pi)

Resposta

y(x) = ln!l(2,sec^2!l(tfracx2r)-1r), xin(-pi,pi)

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