Encontre uma solução explícita para cada PVI abaixo, indicando um intervalo aberto
(contendo
, obviamente), para o qual a solução é válida
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede uma solução explícita em um intervalo aberto contendo
. Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis.
Passo 2
Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Calculemos a integral do lado esquerdo. Observando que
fazemos a substituição
,
, e obtemos
Passo 4
Agora a integral do lado direito:
Usando a identidade
temos
Passo 5
Igualando as duas integrais (absorvendo
C1-C2 num único
C ):
onde
A=e^C .
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
y(0)=0 . Como
cos(0/2)=1 ,
Logo
e finalmente
Passo 7
O denominador
cos(x/2) não pode se anular. Como
cos(x/2)=0 em
x=pi+2kpi , escolhemos um intervalo aberto que contenha
0 e fique livre dessas singularidades, por exemplo