Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E as condições iniciais são e . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e, depois, usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação: .
Passo 6
Agora, precisamos da derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial . Calculando a derivada:
Substituindo :
Então, temos a segunda equação: .
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver isso. Da primeira equação, podemos isolar C1 = 2 - C2 . Substituindo na segunda: