Encontre a solucao do problema de valor inicial
y^prime prime+5 y^prime+6 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime + 5 y^prime + 6 y = 0
E as condições iniciais são y(0) = 2 e y^prime(0) = 3 . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e, depois, usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma y^prime prime + a y^prime + b y = 0 , a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 5 e b = 6 , então a equação fica:
r^2 + 5 r + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 5 , e c = 6 . Substituindo:
r = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm raiz12
Então, temos duas raízes reais distintas:
r1 = -5 + 12 = -2 e r2 = -5 - 12 = -3

Passo 4

Com as raízes r1 e r2 , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^-2 t + C2 e^-3 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial y(0) = 2 . Substituindo t = 0 na solução geral:
2 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 2 = C1 + C2
Isso nos dá a primeira equação: C1 + C2 = 2 .

Passo 6

Agora, precisamos da derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial y^prime(0) = 3 . Calculando a derivada:
y^prime(t) = -2 C1 e^-2 t -3 C2 e^-3 t
Substituindo t = 0 :
3 = -2 C1 -3 C2
Então, temos a segunda equação: -2 C1 -3 C2 = 3 .

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 2 -2 C1 -3 C2 = 3
Vamos resolver isso. Da primeira equação, podemos isolar C1 = 2 - C2 . Substituindo na segunda:
-2(2 - C2) -3 C2 = 3 -4 + 2 C2 -3 C2 = 3 -4 - C2 = 3 -C2 = 7 C2 = -7
Agora, substituindo C2 na primeira equação:
C1 + (-7) = 2 C1 = 9

Resposta

Então, a solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 9 e^-2 t -7 e^-3 t

Exercícios relacionados