Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO separável abaixo e também suas soluções constantes:
Passo 1
O enunciado pede a família de soluções de parâmetro único, na forma implícita, da EDO separável
além de levantar todas as soluções constantes. Vamos usar separação de variáveis e integração.
Passo 2
Escrevendo
e isolando, temos
Agora separamos as variáveis
e
:
Como
, fica
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo
No lado direito fazemos integração por partes (
u=x ,
dv=cos(x),dx ):
Logo obtém-se
onde
K é constante de integração.
Passo 4
Rearranjando para forma implícita usual, definindo
C=-K , dá-se
Esta é a família de soluções em forma implícita.
Passo 5
Para soluções constantes, impondo
y'=0 na EDO original, obtemos
logo
cot(y)=0 e
Resposta
Família implícita:
Soluções constantes: