Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO separável abaixo e também suas soluções constantes:
sec (x) y^prime=x cotg y

Passo 1

O enunciado pede a família de soluções de parâmetro único, na forma implícita, da EDO separável
sec(x),y' = xcot(y)
além de levantar todas as soluções constantes. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx e isolando, temos
sec(x),dydx=xcot(y) Longrightarrow dydx=xcot(y)cos(x)
Agora separamos as variáveis y e x:
dycot(y)=xcos(x),dx
Como tfrac1cot(y)=tan(y), fica
tan(y),dy = xcos(x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral tan(y),dy = integral xcos(x),dx
No lado esquerdo
integral tan(y),dy = -lnl|cos(y)r|
No lado direito fazemos integração por partes ( u=x, dv=cos(x),dx):
integral xcos(x),dx =xsin(x)-integral sin(x),dx =xsin(x)+cos(x)
Logo obtém-se
-lnl|cos(y)r| = xsin(x)+cos(x)+K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Rearranjando para forma implícita usual, definindo C=-K, dá-se
lnl|cos(y)r| + xsin(x)+cos(x) = C
Esta é a família de soluções em forma implícita.

Passo 5

Para soluções constantes, impondo y'=0 na EDO original, obtemos
0 = xcot(y)para todo x,
logo cot(y)=0 e
y = pi2 + kpi, kinZ

Resposta

Família implícita:
lnl|cos(y)r| + xsin(x)+cos(x) = C
Soluções constantes:
y = pi2 + kpi, kinZ

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