Encontre uma solução explícita para cada PVI das EDO’s separáveis abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida (lembre do Teorema de Picard - Existência e unicidade de soluções):
d yd x=y^2-1x^2-1, y(2)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI de uma EDO separável
dydx = y^2 - 1x^2 - 1, y(2)=2
O conteúdo aqui é separação de variáveis e uso do Teorema de Picard (existência e unicidade). Vamos separar as variáveis, integrar, achar a constante usando a condição inicial e determinar um intervalo onde a solução e o termo direito são contínuos.

Passo 2

Separe as variáveis:
dyy^2-1 ;=;dxx^2-1
Integramos ambos os lados:
integral dyy^2-1 = 12lnl|y-1y+1r| + C1,
integral dxx^2-1 = 12lnl|x-1x+1r| + C2
Igualando e reunindo constantes, obtemos
12lnl|y-1y+1r| = 12lnl|x-1x+1r| + C,
ou seja
lnl|y-1y+1r| = lnl|x-1x+1r| + 2C
Definindo K=e^2C, temos
y-1y+1 = K,x-1x+1

Passo 3

Use a condição inicial y(2)=2. Substituindo x=2, y=2 na relação acima:
2-12+1 = 13 = K,2-12+1 = K3 ;Longrightarrow; K=1
Logo
y-1y+1 = x-1x+1

Passo 4

Resolva a equação para y. Multiplicando em cruz:
(y-1)(x+1) = (x-1)(y+1)
Desenvolvendo e simplificando:
xy + y - x -1 = xy - y + x -1 Longrightarrow 2y = 2x Longrightarrow y = x

Passo 5

Precisamos de um intervalo aberto I contendo x0=2 onde a função y^2-1x^2-1 seja contínua em x e Lipschitz em y. As singularidades ocorrem em x=pm1 e y=pm1, mas nossa solução y=x em torno de x=2 não atinge esses pontos. Podemos escolher
I = (1,infty),
que contém 2 e evita x=pm1.

Resposta

A solução explícita do PVI é
y(x) = x,
válida no intervalo
I = (1,infty)

Exercícios relacionados