Resolva as equações:
\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(y^{2}+b^{2}\right) d x+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(y^{2}-b^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(y^{2}+b^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(y^{2}-b^{2}\right)\,dy=0,
onde a e b são constantes (parâmetros) e y é função de x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (ou a forma implícita da solução).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve produtos simétricos em x e y.
  • Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral (constante de integração C).
  • Atenção: existem possíveis singularidades quando x=\pm a ou y=\pm b (denominadores a aparecer mais adiante).

Passo 2

Transformar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx}=\dots e separar as variáveis. Dividindo por dx e reescrevendo:
\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(y^{2}+b^{2}\right)+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(y^{2}-b^{2}\right)\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{(x^{2}+a^{2})(y^{2}+b^{2})}{(x^{2}-a^{2})(y^{2}-b^{2})}.
Agora separar x e y: multiplicando ambos os lados por \dfrac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}} e por dx, obtemos a equação separável
\frac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}}\,dy = -\frac{x^{2}+a^{2}}{x^{2}-a^{2}}\,dx.
Explicação didática rápida: uma equação é separável quando se consegue escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aí integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 3

Calcular a integral do lado esquerdo. Primeiro simplificamos a fração:
\frac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}} = 1 - \frac{2b^{2}}{y^{2}+b^{2}}.
Então
\int \frac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}}\,dy = \int \left(1 - \frac{2b^{2}}{y^{2}+b^{2}}\right)\,dy.
Integral termo a termo:
\int 1\,dy = y, \qquad \int \frac{dy}{y^{2}+b^{2}} = \frac{1}{b}\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right).
Portanto
\int \frac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}}\,dy = y - 2b^{2}\cdot\frac{1}{b}\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = y - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right).
Comentário didático: a fórmula \displaystyle\int\frac{du}{u^{2}+c^{2}}=\frac{1}{c}\arctan\!\left(\frac{u}{c}\right)+\text{const} é padrão e deve ser decorada; aqui c=b.

Passo 4

Calcular a integral do lado direito. Primeiro escrevemos a fração de forma conveniente:
\frac{x^{2}+a^{2}}{x^{2}-a^{2}} = 1 + \frac{2a^{2}}{x^{2}-a^{2}}.
Com o sinal negativo da separação,
-\,\frac{x^{2}+a^{2}}{x^{2}-a^{2}} = -1 - \frac{2a^{2}}{x^{2}-a^{2}}.
Integramos termo a termo:
\int -1\,dx = -x.
Para \displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}} usamos frações parciais. Recordação e demonstração curta:
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right),
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\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + \text{const}.
Multiplicando por -2a^{2} (do integrando), obtemos
\int -\frac{2a^{2}}{x^{2}-a^{2}}\,dx = -2a^{2}\cdot\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| = -a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|.
Portanto a integral do lado direito é
\int -\frac{x^{2}+a^{2}}{x^{2}-a^{2}}\,dx = -x - a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as integrais (esquerda = direita) obtemos a solução implícita:
y - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = -x - a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C.
Rearranjando para uma forma mais simétrica, podemos escrever
x + y + a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = C',
onde C' é outra constante arbitrária (absorvendo o sinal). Esta é a solução geral implícita da equação diferencial.
Observações finais e didáticas:
  • A solução está em forma implícita porque não é fácil (nem necessário) isolar y explicitamente. Em provas, uma forma implícita como essa costuma ser aceita.
  • Domínio: a expressão usa \ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right| e \arctan\!\left(\dfrac{y}{b}\right). A solução não atravessa as singularidades x=\pm a (onde o denominador original se anula) e há que escolher intervalos onde os sinais e o log fazem sentido contínuo.
  • Recapitulando as técnicas usadas: reconhecimento de equação separável, decomposição algébrica para facilitar integração e uso das integrais padrão \int du/(u^{2}+c^{2}) e \int du/(u^{2}-c^{2}) (esta última via frações parciais).

Resposta

x + y + a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = C

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