onde a e b são constantes (parâmetros) e y é função de x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (ou a forma implícita da solução).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação envolve produtos simétricos em x e y.
Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral (constante de integração C).
Atenção: existem possíveis singularidades quando x=\pm a ou y=\pm b (denominadores a aparecer mais adiante).
Passo 2
Transformar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx}=\dots e separar as variáveis. Dividindo por dx e reescrevendo:
Explicação didática rápida: uma equação é separável quando se consegue escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aí integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 3
Calcular a integral do lado esquerdo. Primeiro simplificamos a fração:
\int 1\,dy = y, \qquad \int \frac{dy}{y^{2}+b^{2}} = \frac{1}{b}\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right).
Portanto
\int \frac{y^{2}-b^{2}}{y^{2}+b^{2}}\,dy = y - 2b^{2}\cdot\frac{1}{b}\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = y - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right).
Comentário didático: a fórmula \displaystyle\int\frac{du}{u^{2}+c^{2}}=\frac{1}{c}\arctan\!\left(\frac{u}{c}\right)+\text{const} é padrão e deve ser decorada; aqui c=b.
Passo 4
Calcular a integral do lado direito. Primeiro escrevemos a fração de forma conveniente:
Igualando as integrais (esquerda = direita) obtemos a solução implícita:
y - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = -x - a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C.
Rearranjando para uma forma mais simétrica, podemos escrever
x + y + a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = C',
onde C' é outra constante arbitrária (absorvendo o sinal). Esta é a solução geral implícita da equação diferencial.
Observações finais e didáticas:
A solução está em forma implícita porque não é fácil (nem necessário) isolar y explicitamente. Em provas, uma forma implícita como essa costuma ser aceita.
Domínio: a expressão usa \ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right| e \arctan\!\left(\dfrac{y}{b}\right). A solução não atravessa as singularidades x=\pm a (onde o denominador original se anula) e há que escolher intervalos onde os sinais e o log fazem sentido contínuo.
Recapitulando as técnicas usadas: reconhecimento de equação separável, decomposição algébrica para facilitar integração e uso das integrais padrão \int du/(u^{2}+c^{2}) e \int du/(u^{2}-c^{2}) (esta última via frações parciais).
Resposta
x + y + a\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| - 2b\arctan\!\left(\frac{y}{b}\right) = C