Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
x y(x)^2 d x+(x^2 y(x)^2+x^2 y(x)) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um fator integrante para a equação diferencial dada e, depois, resolver a equação. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
x , y^2 , dx + ( x^2 y^2 + x^2 y ) , dy = 0
Vamos chamar de $ M(x, y) = x y^{2} $ e $ N(x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y $.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.
Calculemos:
M
E:
y

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Mpartial y = 2x y
partial Npartial x = 2x y^2 + 2x y
Vemos que:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Então, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Para encontrar o fator integrante, vamos usar a relação que envolve as derivadas parciais:
mu(x) = e^integral partial Npartial x - partial Mpartial yM dx
Primeiro, calculamos $ \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} $:
partial Npartial x - partial Mpartial yM
Então:
2x y^2 + 2x y - 2x yx y^2 = 2x y^2x y^2 + 2x yx y^2 - 2x yx y^2 = 2 + 2(1y) - 2(1y) = 2

Passo 6

Agora que temos o fator integrante $ \mu(x) = e^{2x} $, multiplicamos toda a equação original por esse fator para torná-la exata:
mu(x) = e^2x
Ficando assim:
e^2x cdot x y^2 , dx + e^2x cdot ( x^2 y^2 + x^2 y ) , dy = 0
Onde:
M^* , dx + N^* , dy = 0
M^* = x y^2 e^2x

Passo 7

Como agora a equação é exata, existe uma função potencial $ \Psi(x, y) $ tal que:
Psi(x, y)
E:
partial Psipartial x = M^*
Vamos integrar $ M^{*} $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
partial Psipartial y = N^*
Onde $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $.

Passo 8

Integrando $ M^{*} $:
M^*
Como $ y $ é tratado como constante na integração em relação a $ x $, podemos tirar $ y^{2} $ de fora da integral:
Psi(x, y) = integral x y^2 e^2x , dx + h(y)
Para resolver $ \int x e^{2x} , dx $, usamos a técnica de integração por partes:
Se $ u = x $ então $ du = dx $
Se $ dv = e^{2x} dx $ então $ v = \frac{e^{2x}}{2} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
y
Então:
x

Passo 9

Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N^{*} $:
Psi(x, y)
Substituindo $ N^{*} $:
y
Simplificando:
N^*
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ x $ e $ y $, a parte que depende apenas de $ y $ deve ser igual a zero:
partial Psipartial y = 2y ( x e^2x2 - e^2x4 ) + h'(y) = N^*

Passo 10

Agora, juntamos tudo para obter a função potencial $ \Psi(x, y) $:
Psi(x, y)
Podemos simplificar:
Psi(x, y) = y^2 ( x e^2x2 - e^2x4 ) + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 e^2x2 ( x - 12 ) = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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