Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um fator integrante para a equação diferencial dada e, depois, resolver a equação. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Vamos chamar de $ M(x, y) = x y^{2} $ e $ N(x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y $.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.
Calculemos:
E:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que:
Então, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Para encontrar o fator integrante, vamos usar a relação que envolve as derivadas parciais:
Primeiro, calculamos $ \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} $:
Então:
Passo 6
Agora que temos o fator integrante $ \mu(x) = e^{2x} $, multiplicamos toda a equação original por esse fator para torná-la exata:
Ficando assim:
Onde:
Passo 7
Como agora a equação é exata, existe uma função potencial $ \Psi(x, y) $ tal que:
E:
Vamos integrar $ M^{*} $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
Onde $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $.
Passo 8
Integrando $ M^{*} $:
Como $ y $ é tratado como constante na integração em relação a $ x $, podemos tirar $ y^{2} $ de fora da integral:
Para resolver $ \int x e^{2x} , dx $, usamos a técnica de integração por partes:
Se $ u = x $ então $ du = dx $
Se $ dv = e^{2x} dx $ então $ v = \frac{e^{2x}}{2} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Então:
Passo 9
Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N^{*} $:
Substituindo $ N^{*} $:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ x $ e $ y $, a parte que depende apenas de $ y $ deve ser igual a zero:
Passo 10
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial $ \Psi(x, y) $:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.