Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-8 y^prime+20 y=100 t^2-26 t e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 20y = 100t^2 - 26,t,e^t
usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia é encontrar primeiro a solução complementar yc da equação homogênea associada e depois uma solução particular yp da equação completa, somando-as no final.

Passo 2

Para achar yc, resolvemos a equação característica
r^2 - 8r + 20 = 0
As raízes são
r = 8 pm raiz64 - 802 = 4 pm 2,i,
logo
yc(t) = e^4tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Agora buscamos yp1 para o termo polinomial 100t^2. Como r=0 não é raiz da característica, tentamos
yp1(t) = a,t^2 + b,t + c
Calculamos
yp1' = 2a,t + b, yp1'' = 2a
e substituímos em y'' - 8y' + 20y = 100t^2:
2a - 8(2a,t + b) + 20(a,t^2 + b,t + c) = 20a,t^2 + (-16a + 20b),t + (2a - 8b + 20c)
Igualando aos coeficientes de 100t^2 + 0t + 0, obtemos
20a = 100implies a=5,
-16a +20b=0implies b=4,
2a -8b +20c=0implies c=1110
Portanto
yp1(t) = 5t^2 + 4t + 1110

Passo 4

Para o termo -26,t,e^t, fazemos o ansatz
yp2(t) = (A,t + B)e^t,
pois r=1 não anula a característica. Calculamos
yp2' = l(A,t+(A+B)r)e^t, yp2'' = l(A,t + (2A+B)r)e^t
e substituímos em y'' -8y' +20y = -26,t,e^t:
e^tl[,13A,t +(-6A +13B)r] = e^tl[-26,t +0r]
Igualando coeficientes, vem
13A = -26implies A=-2,
-6A +13B = 0implies B = -1213
Logo
yp2(t) = l(-2t - 1213r)e^t

Passo 5

A solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 5t^2 +4t + 1110 - l(2t + 1213r)e^t
Somando com yc, obtemos a solução geral.

Resposta

y(t) = e^4tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) + 5t^2 + 4t + 1110 - l(2t + 1213r)e^t

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