Encontre um fator integrante e resolva:
2 x d x+1y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = 2x, N(x,y)=1y,
e pede um fator integrante e a solução geral. O conteúdo aqui é o de equações exatas: vamos verificar exatidão, achar um fator integrante mu (se necessário) e resolver por potencial.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata, calculando
partial Mpartial y = partialpartial y(2x)=0, partial Npartial x = partialpartial xl(1yr)=0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação já é exata.

Passo 3

Para ilustrar o conceito de fator integrante, podemos usar a expressão
mu(x)=expl(integral partial Mpartial y-partial Npartial xN,dxr) =expl(integral 0-01/y,dxr) =exp(0)=1
Logo o fator integrante é mu(x)=1, ou seja, não precisamos alterar nada.

Passo 4

Como é exata, existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M=2x, partial Fpartial y=N=1y
Integramos M em x:
F(x,y)=integral 2x,dx = x^2 + h(y)
Depois usamos partial F/partial y=N:
ddyl(x^2 + h(y)r) = h'(y)=1y Longrightarrow h(y)=integral 1y,dy = lnlvert yrvert
Portanto
F(x,y)=x^2 + lnlvert yrvert
A solução implícita é F(x,y)=C.

Resposta

x^2 + lnlvert yrvert = C

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