Verifique que cada uma das seguintes EDOs possui as soluções indicadas (onde c e a são constantes):
y^prime prime-2 y^prime+y=0, y=c1 e^x+c2 x e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 2y' + y = 0
E a solução que a gente quer verificar é:
y = c1 e^x + c2 x e^x
Para conferir se essa solução está correta, vamos usar conceitos de derivadas e substituir essa função na EDO para ver se tudo se encaixa direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função dada. Precisamos da primeira derivada y' e da segunda derivada y''.
A função é:
y = c1 e^x + c2 x e^x
Vamos derivar termo por termo.
Primeira derivada ( y'):
  • Derivada de c1 e^x é c1 e^x
  • Derivada de c2 x e^x:
Usamos a regra do produto: (u cdot v)' = u' cdot v + u cdot v', onde u = x e v = e^x.
Então:
(x e^x)' = 1 cdot e^x + x cdot e^x = e^x + x e^x
Portanto:
y' = c1 e^x + c2 (e^x + x e^x) = c1 e^x + c2 e^x + c2 x e^x
Segunda derivada ( y''):
Vamos derivar y':
y' = c1 e^x + c2 e^x + c2 x e^x
Derivando termo por termo:
  • Derivada de c1 e^x é c1 e^x
  • Derivada de c2 e^x é c2 e^x
  • Derivada de c2 x e^x:
Novamente, usando a regra do produto:
(x e^x)' = e^x + x e^x
Então:
y'' = c1 e^x + c2 e^x + c2 (e^x + x e^x) = c1 e^x + c2 e^x + c2 e^x + c2 x e^x
Simplificando:
y'' = c1 e^x + 2 c2 e^x + c2 x e^x

Passo 3

Agora que temos y, y' e y'', vamos substituir esses valores na EDO original:
y'' - 2y' + y = 0
Substituindo:
(c1 e^x + 2 c2 e^x + c2 x e^x) - 2 (c1 e^x + c2 e^x + c2 x e^x) + (c1 e^x + c2 x e^x) = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, distribua os termos:
c1 e^x + 2 c2 e^x + c2 x e^x - 2 c1 e^x - 2 c2 e^x - 2 c2 x e^x + c1 e^x + c2 x e^x = 0
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
  • Termos com c1 e^x:
c1 e^x - 2 c1 e^x + c1 e^x = 0
  • Termos com c2 e^x:
2 c2 e^x - 2 c2 e^x = 0
  • Termos com c2 x e^x:
c2 x e^x - 2 c2 x e^x + c2 x e^x = 0
Então, tudo soma zero:
0 + 0 + 0 = 0

Resposta

Sim, a função y = c1 e^x + c2 x e^x satisfaz a equação diferencial y'' - 2y' + y = 0.

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