Verifique que cada uma das seguintes EDOs possui as soluções indicadas (onde
e
são constantes):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes:
E a solução que a gente quer verificar é:
Para conferir se essa solução está correta, vamos usar conceitos de derivadas e substituir essa função na EDO para ver se tudo se encaixa direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função dada. Precisamos da primeira derivada
e da segunda derivada
.
A função é:
Vamos derivar termo por termo.
Primeira derivada (
):
- Derivada de
é - Derivada de
:
Usamos a regra do produto:
, onde
e
.
Então:
Portanto:
Segunda derivada (
):
Vamos derivar
:
Derivando termo por termo:
- Derivada de
é - Derivada de
é - Derivada de
:
Novamente, usando a regra do produto:
Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores na EDO original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, distribua os termos:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
Então, tudo soma zero:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação diferencial
.