Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
2 x y d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial
2,x,y,dx ;-; x^2,dy ;=; 0
é exata e, se for (ou após tornar-se exata), encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é o de EDO exata e fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2,x,y, N(x,y) = -,x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2,x, partial Npartial x = -,2,x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. A condição é que
mu(x),l(M,dx + N,dyr)
se torne exata. Usa-se a fórmula
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr) =função só de (x) çãó
Aqui
1Nl(2x - (-2x)r) =4x-x^2 =-4x,
que de fato é função só de x.

Passo 4

O fator integrante vem de
mu(x)=expl(integral -tfrac4x,dxr) =expl(-4ln xr) =x^-4

Passo 5

Multiplicamos a equação original por x^-4:
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^*(x,y) = 2,y,x^-3, N^*(x,y) = -,x^-2
Verificamos agora
partial M^*partial y=2,x^-3, partial N^*partial x=2,x^-3,
logo a nova equação é exata.

Passo 6

Buscamos a função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M^*(x,y) e partial phipartial y=N^*(x,y)
Integramos M^* em relação a x:
phi(x,y)=integral 2,y,x^-3,dx =2,yintegral x^-3,dx =2,yl(-tfrac12,x^-2r) =-,y,x^-2+h(y)
Diferenciando em relação a y,
partial phipartial y=-,x^-2+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=-,x^-2,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, escrita implicitamente, é
-,y,x^-2=C,
ou seja, equivalentemente,
y = C',x^2,
com C' constante real.

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