Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
Passo 1
O enunciado pede para testar se a equação diferencial
é exata e, se for (ou após tornar-se exata), encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é o de EDO exata e fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. A condição é que
se torne exata. Usa-se a fórmula
Aqui
que de fato é função só de
.
Passo 4
O fator integrante vem de
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
onde
Verificamos agora
logo a nova equação é exata.
Passo 6
Buscamos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Diferenciando em relação a
,
logo
e
é constante.
Resposta
A solução geral, escrita implicitamente, é
ou seja, equivalentemente,
com
constante real.