Verifique que cada uma das seguintes EDOs possui as soluções indicadas (onde c e a são constantes):
x y^prime+y=x sin x, y=-sin x+ax

Passo 1

O enunciado pede verificar que a função
y = -sin x + ax
satisfaz a EDO
x,y' + y = x sin x,
onde a é constante. Para isso, vamos calcular y' e substituir na equação, conferindo se a igualdade ocorre.

Passo 2

Escrevemos
y = -sin xcdot x^-1 + a,x^-1
e aplicamos a regra do produto e a derivada de x^-1:
y' = (-cos x),x^-1 + (-sin x),(-1),x^-2 + a,(-1),x^-2 = -cos xx + sin xx^2 - ax^2

Passo 3

Multiplicando por x e somando y, obtemos
x,y' = -cos x + sin xx - ax,
x,y' + y = l(-cos x + sin xx - axr) + -sin x + ax = -cos x

Passo 4

Vimos que
x,y' + y = -cos x,
que não é igual a xsin x. Portanto a função dada não satisfaz a EDO original.

Resposta

A função y=-sin x + ax não é solução da EDO x,y' + y = xsin x, pois ao substituir encontra-se x,y'+y=-cos xneq xsin x.

Exercícios relacionados