Encontre um fator integrante e resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
Aqui o conteúdo é resolução de equações não exatas usando fator integrante. Vamos identificar e
e buscar um fator integrante
que torne a equação exata.
Aqui o conteúdo é resolução de equações não exatas usando fator integrante. Vamos identificar
Passo 2
Verificamos a exatidão original comparando
Como
, não é exata. Para achar um fator
tegrante que dependa só de
, usamos
que de fato é função apenas de
. Logo existe
.
Passo 3
Para
satisfazemos
Multiplicando a equação original por
obtemos
onde
Passo 4
Agora a equação é exata porque
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
Para determinar
, fazemos
e igualamos a
:
Assim
Passo 5
A solução geral implícita é
Usando
:
Logo a solução particular fica
Resposta
Fator integrante
Solução implícita:
Ou de forma explícita: