Encontre um fator integrante e resolva:
y d x-(x+y) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y,dx - (x+y),dy = 0
com condição inicial y(1)=1.
Aqui o conteúdo é resolução de equações não exatas usando fator integrante. Vamos identificar M(x,y)=y e N(x,y)=-(x+y) e buscar um fator integrante mu que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos a exatidão original comparando
partial Mpartial y = partialpartial y(y) = 1 e partial Npartial x = partialpartial xl(-(x+y)r) = -1
Como 1 neq -1, não é exata. Para achar um fator integraltegrante que dependa só de y, usamos
Nx - MyM = -1 - 1y = -2y,
que de fato é função apenas de y. Logo existe mu=mu(y).

Passo 3

Para mu(y) satisfazemos
mu'(y)mu(y) = -2y Longrightarrow mu(y) = expl(-2integral dyyr) = exp(-2ln|y|) = y^-2
Multiplicando a equação original por y^-2 obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^*(x,y) = y^-2,y = y^-1, N^*(x,y) = y^-2l(-(x+y)r) = -x,y^-2 - y^-1

Passo 4

Agora a equação é exata porque
partial M^*partial y = -y^-2 e partial N^*partial x = -y^-2
Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M^* = 1y
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral 1y,dx = xy + h(y)
Para determinar h(y), fazemos
psiy = partialpartial yl(xy + h(y)r) = -xy^2 + h'(y)
e igualamos a N^*:
-xy^2 + h'(y) = -xy^2 - 1y Longrightarrow h'(y) = -1y Longrightarrow h(y) = -ln|y|
Assim
psi(x,y) = xy - ln|y|

Passo 5

A solução geral implícita é
psi(x,y) = C Longrightarrow xy - ln y = C
Usando y(1)=1:
11 - ln(1) = C Longrightarrow C=1
Logo a solução particular fica
xy - ln y = 1

Resposta


Fator integrante mu(y)=y^-2.
Solução implícita:
xy - ln y = 1
Ou de forma explícita:
x = yl(1 + ln yr)

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