Encontre um fator integrante e resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que podemos colocar na forma
O objetivo é encontrar um fator integrante que torne a equação exata e, em seguida, resolver encontrando a função potencial
.
Passo 2
Escrevemos
pois
Passo 3
Verificamos se é exata, calculando
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Observamos que
e
são homogêneos de grau 1 em
. Nesse caso um fator integrante adequado é
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Denotando
confirma-se que agora
,
ou seja, a equação é exata.
ou seja, a equação é exata.
Passo 6
Procuramos
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Passo 7
Impondo a condição inicial
, ou seja em
, temos
Resposta
A solução implícita é