Encontre um fator integrante e resolva:
u(d u-d v)+v(d u+d v)=0, v(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
u,(du - dv) + v,(du + dv) = 0
que podemos colocar na forma
M(u,v),du + N(u,v),dv = 0
O objetivo é encontrar um fator integrante que torne a equação exata e, em seguida, resolver encontrando a função potencial phi(u,v).

Passo 2

Escrevemos
M(u,v) = u + v, N(u,v) = v - u
pois
u,(du - dv) + v,(du + dv) = (u+v),du + (v-u),dv

Passo 3

Verificamos se é exata, calculando
partial Mpartial v = 1, partial Npartial u = -1
Como partial M/partial v neq partial N/partial u, a equação não é exata.

Passo 4

Observamos que M e N são homogêneos de grau 1 em (u,v). Nesse caso um fator integrante adequado é
mu(u,v) = 1u,M + v,N = 1u(u+v) + v(v-u) = 1u^2 + v^2

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu obtemos
u+vu^2+v^2,du + v-uu^2+v^2,dv = 0
Denotando
M^* = u+vu^2+v^2, N^* = v-uu^2+v^2,
confirma-se que agora
partial M^*/partial v = partial N^*/partial u,
ou seja, a equação é exata.

Passo 6

Procuramos phi(u,v) tal que
partialphi/partial u = M^* e partialphi/partial v = N^*.
Integrando M^* em relação a u:
phi(u,v) = integral u+vu^2+v^2,du = 12lnl(u^2+v^2r) + integral vu^2+v^2,du = 12lnl(u^2+v^2r) + arctan!l(tfracuvr) + C

Passo 7

Impondo a condição inicial v(0)=1, ou seja em u=0, v=1, temos
phi(0,1) = tfrac12ln(1) + arctan(0) + C = 0 + 0 + C = 0 ;Longrightarrow; C=0

Resposta

A solução implícita é
12lnl(u^2+v^2r) + arctan!l(tfracuvr) = 0

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