Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
v e^u d u+y e^u d v=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
v,e^u,du ;+; y,e^u,dv ;=;0
e pede para testar se ela é exata. Aqui as variáveis independentes são u e v, com
M(u,v)=v,e^u, N(u,v)=y,e^u(mas note que há um (y) em vez de (v) no enunciado) á
Vamos verificar se partial M/partial v=partial N/partial u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial v =partialpartial vl(v,e^ur) =e^u,
partial Npartial u =partialpartial ul(y,e^ur) =y,e^u
Como e^uneq y,e^u (a menos que y=1 identicamente), temos
partial Mpartial v;neq;partial Npartial u,
logo a equação não é exata.

Resposta

A diferencial v,e^u,du+y,e^u,dv=0 não é exata, portanto não há solução geral na forma de potencial exato sem antes introduzir um fator integrante.

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