Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO na forma
com
O conteúdo aplicado é teste de exatidão de EDOs e, se não exata, busca de fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
em geral, a EDO não é exata.
Passo 3
Note que
, de modo que a equação pode ser escrita como
Fora as curvas singulares
, podemos dividir por
e obter
Isto equivale a multiplicar a forma original por
que é o fator integrante que torna a EDO exata.
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
obtemos
onde agora
e de fato
confirmando que é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
dá
Então
, de onde
. Logo
e a condição
fornece a solução geral.
Resposta
além das soluções singulares
.