Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
(x^2-y^2) d x+(y^2-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^2 - y^2, N(x,y)=y^2 - x^2
O conteúdo aplicado é teste de exatidão de EDOs e, se não exata, busca de fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial y = -2y, partial Npartial x = -2x
Como -2y neq -2x em geral, a EDO não é exata.

Passo 3

Note que M = -,N, de modo que a equação pode ser escrita como
(x^2 - y^2),(dx - dy)=0
Fora as curvas singulares x^2=y^2, podemos dividir por x^2 - y^2 e obter
dx - dy = 0
Isto equivale a multiplicar a forma original por
mu(x,y)=1x^2 - y^2,
que é o fator integrante que torna a EDO exata.

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu obtemos
1cdot dx + (-1)cdot dy = 0,
onde agora
widetilde M(x,y)=1, widetilde N(x,y)=-1,
e de fato
partial widetilde Mpartial y=0, partial widetilde Npartial x=0,
confirmando que é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = 1, partial phipartial y = -1
Integrando partialphi/partial x=1 em relação a x
phi(x,y)=x + h(y)
Então partialphi/partial y = h'(y) = -1, de onde h(y) = -y + C0. Logo
phi(x,y)=x - y + C0,
e a condição phi(x,y)=const fornece a solução geral.

Resposta

x - y = C,
além das soluções singulares ;y=pm x.

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