Resolva as equações homogêneas:
d wd u=2 u wu^2-w^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dwdu = 2u,wu^2 - w^2,
que é homogênea (o membro direito depende de w/u). Para resolver usamos a substituição
v = wu,
levando a uma equação separável em u e v.

Passo 2

Substituindo w = u,v temos
dwdu = v + u,dvdu
e no lado direito
2u,wu^2 - w^2 = 2u,(u,v)u^2 - u^2,v^2 = 2u^2,vu^2,(1 - v^2) = 2v1 - v^2
Portanto a equação vira
v + u,dvdu = 2v1 - v^2

Passo 3

Isolamos dvdu:
u,dvdu = 2v1 - v^2 - v = v + v^31 - v^2,
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dvdu = v(1 + v^2)u,(1 - v^2)
Reorganizando para separar variáveis:
1 - v^2v(1 + v^2),dv = duu

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral1 - v^2v(1 + v^2),dv = integralduu
Observando que
1 - v^2v(1 + v^2) = 1v - 2v1 + v^2,
temos
integrall(1v - 2v1 + v^2r),dv = ln|v| - ln(1 + v^2) = lnl|v1 + v^2r|
Do outro lado obtemos ln|u| + C. Assim
lnl|v1 + v^2r| = ln|u| + C,
o que leva a
v1 + v^2 = C',u

Passo 5

Voltando a v = w/u, obtemos
w/u1 + (w/u)^2 = C',u Longrightarrow wu^2 + w^2 = C',
que é a solução geral implícita. Podemos também escrever
C',w^2 - w + C',u^2 = 0

Resposta

wu^2 + w^2 = C (constante C).

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