Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V(x, y, z)=x^2-3 x y+x y z
Em que direção V varia mais rapidamente em P?
v=(1,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=x^2-3xy+xyz
e pede a direção em que V varia mais rapidamente no ponto P=(1,1,-1).
Conteúdo: derivadas parciais e gradiente, pois a direção de maior variação é a direção do vetor gradiente nabla V.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de V:
partial Vpartial x =2x-3y+yz, partial Vpartial y =-3x+xz, partial Vpartial z =xy

Passo 3

Avaliar as parciais em P=(1,1,-1):
partial Vpartial x|P =2cdot1-3cdot1+1cdot(-1)=2-3-1=-2,
partial Vpartial y|P =-3cdot1+1cdot(-1)=-3-1=-4,
partial Vpartial z|P =1cdot1=1

Passo 4

O vetor gradiente em P é
nabla V(P)=(-2,,-4,,1)
Essa é a direção de máxima variação de V. Se quisermos o vetor unitário, basta normalizar:
|nabla V(P)|=raiz(-2)^2+(-4)^2+1^2=raiz4+16+1=raiz21,
u=1raiz21(-2,,-4,,1)

Resposta

A direção de máxima variação de V em P é dada pelo gradiente
nabla V(P)=(-2,,-4,,1),
ou, na forma unitária,
1raiz21(-2,,-4,,1)

Exercícios relacionados