Encontre a solução do seguinte PVI:
(e^x sin y+tan y)+(e^x cos y+x sec ^2 y) d yd x=0, y(0)=pi4

Passo 1

O enunciado dá o PVI
l(e^xsin y+tan yr)+l(e^xcos y+xsec^2yr)dydx=0, y(0)=pi4
Isso é uma equação diferencial da forma
M(x,y)+N(x,y),dydx=0
com
M(x,y)=e^xsin y+tan y, N(x,y)=e^xcos y+xsec^2y
O conteúdo é o método de equações exatas: verificar exatidão e encontrar uma função potencial F(x,y) tal que Fx=M e Fy=N.

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo se
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =e^xcos y+sec^2y, partial Npartial x =e^xcos y+sec^2y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)=e^xsin y+tan y
Integrando em x:
F(x,y)=integrall(e^xsin y+tan yr),dx =e^xsin y + xtan y + g(y),
onde g(y) é uma função só de y.
Agora usamos
partial Fpartial y =e^xcos y + xsec^2y + g'(y) =N(x,y)=e^xcos y + xsec^2y
Logo g'(y)=0, isto é, g é constante. Portanto a solução implícita geral é
e^xsin y + xtan y = C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=tfracpi4. Em x=0 e y=tfracpi4:
e^0sin!l(tfracpi4r) +0cdottan!l(tfracpi4r) =1cdotraiz22+0 =raiz22
Logo C=tfracraiz22.

Resposta

boxede^xsin y + xtan y = raiz22

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