Mostre que a equação não é exata, encontre um fator integrante e resolva:
2 x y d x+(y^2-x^2) d y=0, y>0, x>0
  1. Mostre que y d x+(2 x y-e^-2 y) d y=0 não é exata e encontre um fator integrante.

Passo 1

O primeiro problema é a equação
2xy,dx + (y^2 - x^2),dy = 0, x>0,;y>0
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos mostrar que não é exata, encontrar um fator integrante que dependa apenas de y, tornar a equação exata e então integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2xy, N(x,y)=y^2 - x^2
Para ser exata precisamos de
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando,
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = -2x,
logo não são iguais e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(y). Se
partial Npartial x-partial Mpartial yM
for função só de y, então
-2x - 2x2xy = -4x2xy = -2y
depende apenas de y. Logo
mu(y) = exp!l(integral -tfrac2y,dyr) = exp(-2ln y) = y^-2

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(y)=y^-2 obtemos
2xyy^2,dx + y^2 - x^2y^2,dy = 0 Longrightarrow 2xy,dx + l(1 - x^2y^2r),dy = 0
Agora
tilde M(x,y)=2xy, tilde N(x,y)=1-x^2y^2,
e verifica-se
partial tilde Mpartial y = -2xy^2, partial tilde Npartial x = -2xy^2,
logo é exata.

Passo 5

Buscamos Psi(x,y) tal que
Psix = tilde M = 2xy
Integrando em x:
Psi(x,y) = integral 2xy,dx = x^2y + h(y)
Derivando em y:
Psiy = -x^2y^2 + h'(y)
deve ser igual a tilde N = 1 - x^2y^2, o que dá h'(y)=1 e h(y)=y.
Então
Psi(x,y) = x^2y + y,
e a solução implícita é
Psi(x,y)=C Longrightarrow x^2y+y=C,
ou, reorganizando,
x^2 + y^2 = C,y

Passo 6

O segundo problema é a equação
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0,
novamente mostrando não exata e achando fator integrante.

Passo 7

Aqui
M(x,y)=y, N(x,y)=2xy - e^-2y
Calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=2y,
logo não é exata.

Passo 8

Testamos fator integrante mu(y) via
partial Npartial x-partial Mpartial yM = 2y - 1y,
que depende só de y. Então
mu(y) = exp!l(integral 2y-1y,dyr) = expl(2y - ln yr) = e^2yy

Passo 9

Multiplicando por mu(y)
e^2y,dx + l(2x y - e^-2yr)e^2yy,dy = e^2y,dx + l(2x e^2y - 1yr),dy = 0
Agora tilde M = e^2y, tilde N = 2x e^2y - tfrac1y e
partial tilde Mpartial y=2e^2y, partial tilde Npartial x=2e^2y,
é exata. Integramos
Psix = e^2y ;Longrightarrow; Psi(x,y) = x,e^2y + h(y),
e
Psiy = 2x e^2y + h'(y) overset!= 2x e^2y - 1y ;Longrightarrow; h'(y) = -1y,
logo h(y)=-ln y. Assim
Psi(x,y) = x,e^2y - ln y,
e a solução geral é
x,e^2y - ln y = C

Resposta

Para
2xy,dx+(y^2-x^2),dy=0 Longrightarrow x^2 + y^2 = C,y
Para
y,dx+(2xy-e^-2y),dy=0 Longrightarrow x,e^2y - ln y = C

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