Mostre que a equação não é exata, encontre um fator integrante e resolva:
- Mostre que
não é exata e encontre um fator integrante.
Passo 1
O primeiro problema é a equação
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos mostrar que não é exata, encontrar um fator integrante que dependa apenas de
, tornar a equação exata e então integrar para obter a solução geral.
Passo 2
Identificamos
Para ser exata precisamos de
Calculando,
logo não são iguais e a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Se
for função só de
, então
depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
Agora
e verifica-se
logo é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integrando em
:
Derivando em
:
deve ser igual a
, o que dá
e
.
Então
Então
e a solução implícita é
ou, reorganizando,
Passo 6
O segundo problema é a equação
novamente mostrando não exata e achando fator integrante.
Passo 7
Aqui
Calculamos
logo não é exata.
Passo 8
Testamos fator integrante
via
que depende só de
. Então
Passo 9
Multiplicando por
dá
Agora
,
e
é exata. Integramos
e
logo
. Assim
e a solução geral é
Resposta
Para
Para