Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(10-6 y+e^-3 x) d x-2 d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! O enunciado nos pede para encontrar um fator integrante que torne a equação exata e, depois, resolver a EDO. Estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do primeiro grau. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como aplicar um fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada já é exata. Uma equação na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 é exata se satisfizer a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos identificar M e N :
M(x, y) = 10 - 6y + e^-3x N(x, y) = -2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -6 partial Npartial x = 0
Como -6 neq 0, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a tornará exata.

Passo 3

Existem diferentes métodos para encontrar um fator integrante, mas vamos supor que nosso fator depende apenas de x , ou seja, mu(x) . Para encontrar mu(x) , usamos a seguinte relação quando a equação não é exata:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = dmudx cdot 1mu
Substituindo os valores que já calculamos:
-6 - 0-2 = dmudx cdot 1mu -6-2 = dmudx cdot 1mu 3 = dmudx cdot 1mu
Isso simplifica para:
dmudx = 3mu

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial para mu :
dmudx = 3mu
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver separando as variáveis:
dmumu = 3 , dx
Integrando ambos os lados:
ln|mu| = 3x + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
mu = e^3x + C = Ce^3x
Como C é uma constante arbitrária, podemos considerar mu = e^3x .

Passo 5

Agora que temos o fator integrante mu(x) = e^3x , multiplicamos a equação original por ele para torná-la exata:
e^3x(10 - 6y + e^-3x) , dx - 2e^3x , dy = 0
Simplificando:
(10e^3x - 6e^3xy + 1) , dx - 2e^3x , dy = 0
Agora, definimos:
M^*(x, y) = 10e^3x - 6e^3xy + 1 N^*(x, y) = -2e^3x

Passo 6

Como a equação agora é exata, sabemos que existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M^*(x, y) partial Phipartial y = N^*(x, y)
Vamos encontrar Phi(x, y) integrando M^* em relação a x :
Phi(x, y) = integral (10e^3x - 6e^3xy + 1) , dx = 103e^3x - 2e^3xy + x + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 7

Agora, derivamos Phi(x, y) em relação a y e igualamos a N^* :
partial Phipartial y = -2e^3x + h'(y) = -2e^3x
Isso implica que h'(y) = 0 , então h(y) é uma constante, que podemos considerar como zero.
Portanto, a função potencial é:
Phi(x, y) = 103e^3x - 2e^3xy + x

Resposta

A solução da EDO é dada por:
103e^3x - 2e^3xy + x = C
Onde C é a constante de integração.

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