Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! O enunciado nos pede para encontrar um fator integrante que torne a equação exata e, depois, resolver a EDO. Estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do primeiro grau. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como aplicar um fator integrante para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada já é exata. Uma equação na forma
é exata se satisfizer a condição:
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a tornará exata.
Passo 3
Existem diferentes métodos para encontrar um fator integrante, mas vamos supor que nosso fator depende apenas de
, ou seja,
. Para encontrar
, usamos a seguinte relação quando a equação não é exata:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Como
é uma constante arbitrária, podemos considerar
.
Passo 5
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos a equação original por ele para torná-la exata:
Simplificando:
Agora, definimos:
Passo 6
Como a equação agora é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar como zero.
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução da EDO é dada por:
Onde
é a constante de integração.