Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
x y^prime-y=x^2, com y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI x,y' - y = x^2 com y(1)=2. O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por x (supondo xneq0) para colocar no formato padrão y' + p(x)y = q(x): obtemos y' - 1xy = x.

Passo 3

Identificamos p(x) = -1/x e calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^-integral1xdx = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x, ficando
y'x - yx^2 = 1,
o que reconhecemos como derivada de produto:
gl(yxgr)' = 1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integral 1,dx = x + C Longrightarrow y = x^2 + Cx

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1 + C implies C = 1
Logo, a solução que satisfaz o PVI é obtida.

Passo 7

Resposta

y(x) = x^2 + x

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