Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^prime+2 y=e^-x, com y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + 2y = e^-x, y(0)=0
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos permite transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x). Por definição,
mu(x) = exp!l(integral 2,dxr) = exp(2x) = e^2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^2x. Assim,
e^2xy' + 2e^2xy = e^2xe^-x = e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^2xy, pois
ddxl(e^2xyr) = e^2xy' + 2e^2xy

Passo 4

Integrando ambos os lados com respeito a x,
integral ddxl(e^2xyr),dx = integral e^x,dx Longrightarrow e^2xy = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = e^-2xl(e^x + Cr) = e^-x + C,e^-2x
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0:
0 = y(0) = e^0 + C,e^0 = 1 + C Longrightarrow C = -1

Passo 6

Substituindo C=-1 na expressão geral de y, obtemos a solução particular:
y = e^-x - e^-2x

Resposta

y(x) = e^-x - e^-2x

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