Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO:
;
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Uma EDO
é dita ser homogênea se as funções
e
são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
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Uma EDO
Passo 1
O enunciado pede para achar um fator integrante que torne exata a equação
e, em seguida, resolver a EDO obtendo a solução geral. O conteúdo que usaremos é o teste de exatidão, a busca de um fator integrante dependente só de
e a construção de uma função potencial.
Passo 2
Vamos chamar
Calculamos
Como
, não é exata. Para um fator integrante
que dependa só de
basta verificar
que é função só de
. Logo
Passo 3
Multiplicamos a EDO por
. Isso produz
com
Verificamos agora
logo a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Para achar
, usamos
Daí
Logo
Passo 5
A solução geral da EDO exata com fator integrante é dada implicitamente por
ou seja,
onde
é constante arbitrária.