Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO: (y^2+x y^3) d x+(5 y^2-x y+y^3 sen y) d y=0;
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Uma EDO M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 é dita ser homogênea se as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real alpha tal que
M(t x, t y)=t^alpha M(x, y) e N(t x, t y)=t^alpha N(x, y)
para todo t.

Passo 1

O enunciado pede para achar um fator integrante que torne exata a equação
l(y^2+x y^3r),dx+l(5y^2-x y+y^3sin yr),dy=0
e, em seguida, resolver a EDO obtendo a solução geral. O conteúdo que usaremos é o teste de exatidão, a busca de um fator integrante dependente só de y e a construção de uma função potencial.

Passo 2

Vamos chamar
M(x,y)=y^2+x y^3, N(x,y)=5y^2-x y+y^3sin y
Calculamos
partial Mpartial y =2y+3xy^2, partial Npartial x =-y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Para um fator integrante mu(y) que dependa só de y basta verificar
partial Npartial x-partial Mpartial yM =-y-(2y+3xy^2)y^2+xy^3 =-3y(1+xy)y^2(1+xy) =-3y,
que é função só de y. Logo
mu(y) =expl(integral -3y,dyr) =exp(-3ln y) =y^-3

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(y)=y^-3. Isso produz
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0
com
M^*(x,y)=y^-3(y^2+x y^3)=y^-1+x, N^*(x,y)=y^-3(5y^2-xy+y^3sin y) =5y^-1-x y^-2+sin y
Verificamos agora
partial M^*partial y =-y^-2, partial N^*partial x =-y^-2,
logo a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M^*(x,y)=y^-1+x
Integramos em x:
F(x,y)=integrall(y^-1+xr),dx = x,y^-1+x^22+h(y)
Para achar h(y), usamos
partial Fpartial y =-x,y^-2+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=5y^-1-x y^-2+sin y
Daí
h'(y)=5y^-1+sin y Longrightarrow h(y)=5ln y-cos y
Logo
F(x,y)=xy+x^22+5ln y-cos y

Passo 5

A solução geral da EDO exata com fator integrante é dada implicitamente por
F(x,y)=C,
ou seja,
xy+x^22+5ln y-cos y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

xy+x^22+5ln y-cos y=C

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