Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
onde
O objetivo é encontrar um fator integrante que torne essa forma exata e, em seguida, resolver por integração de uma função potencial.
Passo 2
Verificamos se a forma é exata, calculando as derivadas parciais
e
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
Aqui
que é função apenas de
. Logo existe
.
Passo 4
Calculamos
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Passo 5
Agora
e
. Verificamos a exatidão:
portanto a forma é exata.
Passo 6
Existe uma função potencial
tal que
Derivando agora em relação a
, deve valer
logo
Passo 7
Integramos
:
Assim
Resposta
A solução implícita geral é
onde
é constante de integração.