Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
d x+(x / y-sen(y)) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = 1, N(x,y) = xy - sin(y)
O objetivo é encontrar um fator integrante que torne essa forma exata e, em seguida, resolver por integração de uma função potencial.

Passo 2

Verificamos se a forma é exata, calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y e partial Npartial x:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 1y
Como 0 neq 1/y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. Usamos a condição
partial Npartial x - partial Mpartial yM depende apenas de y
Aqui
1y - 01 = 1y,
que é função apenas de y. Logo existe mu=mu(y).

Passo 4

Calculamos
mu(y) = exp!gl(integral 1y,dygr) = exp(ln|y|) = y
Multiplicando a equação original por y, obtemos
y,dx + l(x - ysin(y)r),dy = 0

Passo 5

Agora M^*(x,y)=y e N^*(x,y)=x - ysin(y). Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y = 1, partial N^*partial x = 1,
portanto a forma é exata.

Passo 6

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M^*(x,y) = y Longrightarrow phi(x,y) = x,y + h(y)
Derivando agora em relação a y, deve valer
partial phipartial y = x + h'(y) = N^*(x,y) = x - ysin(y),
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h'(y) = -,ysin(y)

Passo 7

Integramos h'(y):
h(y) = -integral ysin(y),dy = -l(-ycos(y) + sin(y)r) = ycos(y) - sin(y)
Assim
phi(x,y) = x,y + ycos(y) - sin(y)

Resposta

A solução implícita geral é
x,y + ycos(y) - sin(y) = C,
onde C é constante de integração.

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