Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
x d yd x+y=y^-2, x neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Bernoulli
xdydx+y=y^-2, xneq0
O conteúdo é a equação de Bernoulli e vamos precisar colocá-la na forma
dydx+P(x),y=Q(x),y^n
para então usar a substituição u=y^1-n.

Passo 2

Dividindo tudo por x, obtemos a forma padrão
dydx+1x,y=1x,y^-2,
onde P(x)=1/x, Q(x)=1/x e n=-2.

Passo 3

Para a Bernoulli com expoente n=-2, definimos
u=y^1-(-2)=y^3
Calculamos a derivada
dudx=3,y^2dydx ;Longrightarrow; y^2dydx=13dudx
Multiplicamos a equação original por y^2 antes de dividir por x:
x,y^2dydx+y^3=1 ;Longrightarrow; x3dudx+u=1 ;Longrightarrow; xdudx+3u=3

Passo 4

Colocamos em forma linear padrão
dudx+3x,u=3x
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral3xdxr)=x^3
Multiplicando a EDO por x^3 vem
x^3dudx+3x^2u=(x^3u)'=3x^2
Integrando ambos os lados em x:
x^3u=integral3x^2dx=x^3+C ;Longrightarrow; u=1+Cx^-3

Passo 5

Voltando à variável y, como u=y^3, temos
y^3=1+Cx^-3 ;Longrightarrow; y=l(1+Cx^-3r)^1/3,
onde C é constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x)=l(1+Cx^-3r)^1/3, xneq0,;CinR

Exercícios relacionados