Encontre a fatoração A=L U ou P A=L U para as seguintes escolhas de A
(a) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 8 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a fatoração A=L\,U da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 8 & 7\end{pmatrix}
O conteúdo utilizado será a eliminação de Gauss sem permutações de linha, construindo L com diagonal principal unitária e U triangular superior.

Passo 2

Verificamos o pivot na posição (1,1):
a_{11}=2\neq0
Logo não é necessária nenhuma troca de linha.

Passo 3

Calculamos o multiplicador para zerar o elemento a_{21}:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{8}{2}=4.

Passo 4

Aplicamos a operação “linha 2 ← linha 2 – m_{21}×linha 1” para obter U. Assim,
U = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 7 - 4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz L armazena o multiplicador na posição (2,1) e tem diagonal principal igual a 1:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A = L\,U
L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \quad U = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

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