Seja A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 9 & 1 \\\\ 2 & 6 & 1\end{array}\right).
(a) Encontre matrizes elementares E_{1}, \ldots E_{n} tais que E_{n} \ldots E_{1} A=I, onde I denota a matriz identidade 3 \times 3.
(b) Calcule A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[6pt] 3 & 9 & 1\\[6pt] 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) matrizes elementares E_{1},\dots,E_{n} tais que
E_{n}\cdots E_{1}\,A = I_{3},
e (b) calcular A^{-1}. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan, registrando cada operação como matriz elementar, e ao final notar que
A^{-1}=E_{n}\cdots E_{1}.]

Passo 2

Primeiro pivô em (1,1) é zero, então trocamos R_{1} com R_{2}. A matriz elementar de troca é
E_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
logo
E_{1}A =\begin{pmatrix} 3 & 9 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Eliminamos o elemento (3,1) com
R_{3}\;\longmapsto\;R_{3}-\tfrac{2}{3}R_{1}.
A matriz elementar é
E_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{2}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix},
e
E_{2}E_{1}A =\begin{pmatrix} 3 & 9 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Normalizamos os pivôs:
– em R_{1} dividimos por 3:
E_{3} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
– em R_{3} multiplicamos por 3:
E_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Então
E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}A =\begin{pmatrix} 1 & 3 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Eliminamos acima do pivô da coluna 3 em R_{1}:
R_{1}\;\longmapsto\;R_{1}-\tfrac{1}{3}R_{3},\quad E_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
ficando
E_{5}E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}A =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Depois eliminamos acima do pivô da coluna 2 em R_{1}:
R_{1}\;\longmapsto\;R_{1}-3\,R_{2},\quad E_{6} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e então
E_{6}E_{5}E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}A = I_{3}.]

Passo 6

Concluímos que as matrizes elementares são
E_{1},E_{2},E_{3},E_{4},E_{5},E_{6}
definidas acima, e que
A^{-1} \;=\; E_{6}E_{5}E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}.
Multiplicando essas matrizes (ou usando adjunta/determinante) obtém-se
A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Uma sequência que funciona é
E_{1} = \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 1&0&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},\; E_{2} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ -\tfrac{2}{3}&0&1\end{pmatrix},\; E_{3} = \begin{pmatrix}\tfrac13&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},
E_{4} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},\; E_{5} = \begin{pmatrix}1&0&-\tfrac13\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},\; E_{6} = \begin{pmatrix}1&-3&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},
verificando que \,E_{6}E_{5}E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}A=I_{3}.
(b)
A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}.]

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