Seja A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right). Encontre um vetor não-nulo v \in \mathbb{R}^{2} tal que \langle A v, v\rangle \geq 2|v|^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que \langle A v, v\rangle \ge 2\lvert v\rvert^2.
O conteúdo aqui é análise de formas quadráticas e produto interno em \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Seja v=(v_1,v_2). Vamos calcular
A v = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_1+v_2\v_1+v_2\end{pmatrix}.

Passo 3

O produto interno \langle A v, v\rangle é
\langle A v, v\rangle = (v_1+v_2)\,v_1 + (v_1+v_2)\,v_2 = (v_1+v_2)^2.
E o quadrado da norma é
\lvert v\rvert^2 = v_1^2 + v_2^2.

Passo 4

A condição \langle A v, v\rangle \ge 2\lvert v\rvert^2 vira
(v_1+v_2)^2 \;\ge\; 2\bigl(v_1^2+v_2^2\bigr).
Expandindo e reorganizando,
v_1^2 + 2v_1v_2 + v_2^2 \;\ge\; 2v_1^2 + 2v_2^2 \;\Longrightarrow\; 0 \;\ge\; (v_1 - v_2)^2.

Passo 5

Como (v_1 - v_2)^2 é sempre não-negativo, a única forma de (v_1 - v_2)^2 \le 0 é termos
v_1 - v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = v_2.
Portanto todo vetor da forma v=(t,t), com t\neq 0, satisfaz a desigualdade.

Resposta

Por exemplo, podemos escolher
v = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
já que \langle A v,v\rangle =4 e 2\lvert v\rvert^2 =4, logo \langle A v,v\rangle \ge 2\lvert v\rvert^2.

Exercícios relacionados