Seja A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right). Encontre um vetor não-nulo v \in \mathbb{R}^{2} tal que \langle A v, v\rangle \geq 2|v|^{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que \langle A v, v\rangle \ge 2\lvert v\rvert^2.
O conteúdo aqui é análise de formas quadráticas e produto interno em \mathbb{R}^2.]
Passo 2
Seja v=(v_1,v_2). Vamos calcular
A v = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_1+v_2\v_1+v_2\end{pmatrix}.
Passo 3
O produto interno \langle A v, v\rangle é
\langle A v, v\rangle = (v_1+v_2)\,v_1 + (v_1+v_2)\,v_2 = (v_1+v_2)^2.
E o quadrado da norma é
\lvert v\rvert^2 = v_1^2 + v_2^2.
Passo 4
A condição \langle A v, v\rangle \ge 2\lvert v\rvert^2 vira