Encontre o fluxo de F=y^3 z i-x y j+(x+y+z) k através da porção da superfície z=y e^x que está acima do quadrado [0,1] times[0,1] no plano xy, com a normal orientada para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F=y^3z,i-xy,j+(x+y+z),k através da porção da superfície
z = y,e^x
acima do quadrado 0<= x<=1, 0<= y<=1, com a normal orientada para cima.
Conteúdo: integral de superfície de campo vetorial em gráfico z=g(x,y). Usamos a parametrização
r(x,y) = (x,y,g(x,y)), g(x,y)=y e^x,
e a fórmula do fluxo
integral duplaS Fcdotn,dS =integral duplaDFl(x,y,g(x,y)r)cdotl(-gx,,-gy,,1r),dx,dy

Passo 2

Calculamos as derivadas de g:
gx = partialpartial x(y e^x)=y e^x, gy = partialpartial y(y e^x)=e^x
Em seguida substituímos z=y e^x em F:
F(x,y,g) =l(y^3,(y e^x),,-x y,;x+y+y e^xr) =(y^4 e^x,,-xy,;x+y+y e^x)

Passo 3

O produto Fcdot(-gx,-gy,1) dá o integrando:
Fcdot(-gx,-gy,1) &=-y^4 e^x,(y e^x);-;(-xy),(e^x);+;(x+y+y e^x) &=-y^5 e^2x+xy e^x+x+y+y e^x
Logo o fluxo é
integral dupla[0,1]^2l(-y^5 e^2x+xy e^x+x+y+y e^xr),dx,dy

Passo 4

Integramos termo a termo em 0<= x,y<=1.
  1. I1=integral0^1integral0^1 -y^5 e^2x,dx,dy =-integral0^1 y^5e^2-12,dy =-e^2-12cdot16 =-e^2-112
  2. I2=integral0^1integral0^1 x y e^x,dx,dy =integral0^1 yl[integral0^1 x e^x dxr]dy =integral0^1 ycdot1,dy =12
  3. I3=integral0^1integral0^1 x,dx,dy =12
  4. I4=integral0^1integral0^1 y,dx,dy =integral0^1 y,dy =12
  5. I5=integral0^1integral0^1 y e^x,dx,dy =integral0^1 y,(e-1),dy =e-12

Passo 5

Somando:
Phi =I1+I2+I3+I4+I5 =-e^2-112+12+12+12+e-12 =6e+13-e^212

Resposta

Phi =6e+13-e^212

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