Nos itens abaixo, encontre o fluxo do campo F dado através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0. Oriente a superfície para fora.
F=x^2 i+x y j+x z k.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x^2,i+x y,j+x z,k através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0, com orientação para fora. Vamos usar parametrização esférica para escrever dS e o vetor normal unitário, e depois calcular
integral duplaSFcdotn,dS

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério por
x = asinthetacosphi, y = asinthetasinphi, z = acostheta,
com thetain[0,pi/2] e phiin[0,2pi]. Nessa parametrização, o elemento de área é
dS = a^2sintheta,dtheta,dphi,
e o vetor normal unitário para fora é
n=1a(x,y,z)

Passo 3

Calculamos o produto escalar Fcdotn. Temos
Fl(x,y,zr)cdotn =l(x^2,,xy,,xzr)cdot1a(x,y,z) =1al(x^3+xy^2+xz^2r) =x,(x^2+y^2+z^2)a =x,a^2a =a,x

Passo 4

Substituindo x=asinthetacosphi e dS na integral de fluxo, obtemos
Phi =integral duplaSFcdotn,dS =integral0^2pi!!integral0^pi/2 l(acdot asinthetacosphir), l(a^2sintheta,dtheta,dphir)
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Phi = a^4 integral0^2pi!!integral0^pi/2 sin^2theta,cosphi ,dtheta,dphi

Passo 5

A integral em phi de cosphi sobre [0,2pi] é zero:
integral0^2picosphi,dphi=0
Portanto o fluxo total vale
Phi = a^4(integral0^pi/2sin^2theta,dtheta)cdot 0 = 0

Resposta

O fluxo de F através do hemisfério superior orientado para fora é 0.

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