Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
S é definida por x^2+y^2+5 z=1, z >= 0, orientada para cima; F=x z i+y z j+(x^2+y^2) k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para a superfície
S:;x^2+y^2+5z=1, z>=0,
orientada para cima, e o campo vetorial
F = xz, i + yz, j + l(x^2+y^2r) k
Segundo o Teorema de Stokes, devemos mostrar que
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S ;=; ointpartial S Fcdot d r

Passo 2

Calcular nablatimes F. Escrevendo F=(P,Q,R) com
P=xz, Q=yz, R=x^2+y^2,
temos
partialyR=2y, partialzQ=y,
partialzP=x, partialxR=2x,
partialxQ=0, partialyP=0
Logo
nablatimes F =(partialyR-partialzQ), i +(partialzP-partialxR), j +(partialxQ-partialyP), k =(y,-x,0)

Passo 3

Calcular a integral de superfície
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S
Como S é dado por z=(1-x^2-y^2)/5, x^2+y^2<=1, o vetor área orientado para cima é
d S =l(-tfracpartial zpartial x,-tfracpartial zpartial y,1r),dx,dy =l(tfrac2x5,tfrac2y5,1r),dx,dy
Então
(nablatimes F)cdot d S =(y,-x,0)cdotl(tfrac2x5,tfrac2y5,1r),dx,dy =2xy5-2xy5=0
Integrando sobre o disco x^2+y^2<=1
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S=0

Passo 4

Calcular a integral de linha em partial S. A fronteira é o círculo
x^2+y^2=1, z=0,
orientado no sentido anti-horário visto de cima. Parâmetros:
x=cos t, y=sin t, z=0, tin[0,2pi]
Nesse caso F=(0,0,1) sobre partial S e
d r=(-sin t,cos t,0),dt
Logo
Fcdot d r =(0,0,1)cdot(-sin t,cos t,0),dt=0,
e
ointpartial S Fcdot d r =integral0^2pi0,dt=0

Passo 5

Como
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S=0 e ointpartial S Fcdot d r=0,
vemos que as duas integrais são iguais, confirmando o Teorema de Stokes.

Resposta

integral duplaS(nablatimes F)cdot d S = 0
ointpartial S Fcdot d r = 0

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