Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
é definida por
, orientada para cima;
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para a superfície
orientada para cima, e o campo vetorial
Segundo o Teorema de Stokes, devemos mostrar que
Passo 2
Calcular
. Escrevendo
com
temos
Logo
Passo 3
Calcular a integral de superfície
Como
é dado por
,
, o vetor área orientado para cima é
Então
Integrando sobre o disco
dá
Passo 4
Calcular a integral de linha em
. A fronteira é o círculo
orientado no sentido anti-horário visto de cima. Parâmetros:
Nesse caso
sobre
e
Logo
e
Passo 5
Como
vemos que as duas integrais são iguais, confirmando o Teorema de Stokes.