Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
S é parametrizada por r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi / 2 ; F= z i+x j+y k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes aplicando-o à superfície S parametrizada por
r(u,v) = (ucos v,;usen v,;v), (u,v)in [0,1]times[0,tfracpi2],
e ao campo F = z,i + x,j + y,k.
Vamos calcular ( 1) a integral de superfície
integral duplaS (nablatimesF)cdot n,dS
e ( 2) a integral de linha
ointpartial S Fcdot dr,
mostrando que ambas dão o mesmo resultado.

Passo 2

Primeiro, calculamos o rotacional de F e o vetor normal à superfície:
nablatimesF = l(partial ypartial y-partial xpartial z,; partial zpartial z-partial ypartial x,; partial xpartial x-partial zpartial yr) = (1,1,1)
Em seguida,
ru = (cos v,;sen v,;0), rv = (-usen v,;ucos v,;1),
n = rutimes rv = (sen v,;- cos v,;u)
Logo,
(nablatimesF)cdotn = (1,1,1)cdot(sen v,-cos v,u) = u + sen v - cos v

Passo 3

A integral de superfície fica
integral duplaS (nablatimesF)cdot n,dS = integralu=0^1integralv=0^pi/2l(u + sen v - cos vr),dv,du
Note que
integral0^pi/2(sen v-cos v),dv =l[-cos v-sen vr]0^pi/2=0,
portanto sobra
integral0^1integral0^pi/2u,dv,du =integral0^1 l(upi2r),du =pi2cdot12 =pi4

Passo 4

Agora parametrize a borda partial S. No retângulo [0,1]times[0,pi/2] as arestas são:
1) C2!: v=0,;u:0to1;\quad
2) C3!: u=1,;v:0topi/2;\quad
3) C4!: v=pi/2,;u:1to0;\quad
4) C1!: u=0,;v:pi/2to0.
Isso preserva a orientação induzida por (u,v).

Passo 5

Em cada aresta calculamos integral Fcdot dr:
  • Em C2!: r(u)=(u,0,0), r'=(1,0,0), F=(0,u,0) ;Rightarrow integral =0.
  • Em C3!: r(v)=(cos v,sen v,v), r'=(-sen v,cos v,1),
    F=(v,cos v,sen v).
    Logo Fcdotr' = -vsen v + cos^2v + sen v, e integral0^pi/2l(-vsen v+cos^2v+sen vr),dv = pi4
  • Em C4 e C1 a componente de F ao longo de r' é zero, logo cada integral é 0.
Somando tudo, ointpartial SFcdot dr=tfracpi4.

Passo 6

Como obtivemos
integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =pi4 e ointpartial SFcdot dr =pi4,
o Teorema de Stokes está devidamente verificado.

Resposta

As duas integrais valem pi4, conforme o Teorema de Stokes.

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