Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes aplicando-o à superfície
parametrizada por
e ao campo
.
Vamos calcular ( ) a integral de superfície
Vamos calcular (
e (
) a integral de linha
mostrando que ambas dão o mesmo resultado.
Passo 2
Primeiro, calculamos o rotacional de
e o vetor normal à superfície:
Em seguida,
Logo,
Passo 3
A integral de superfície fica
Note que
portanto sobra
Passo 4
Agora parametrize a borda
. No retângulo
as arestas são:
)
;\quad
)
;\quad
)
;\quad
)
.
Isso preserva a orientação induzida por .
Isso preserva a orientação induzida por
Passo 5
Em cada aresta calculamos
:
- Em
, , integral . - Em
, ,
.
Logoe - Em
e a componente de ao longo de é zero, logo cada integral é .
Somando tudo,
.
Passo 6
Como obtivemos
o Teorema de Stokes está devidamente verificado.
Resposta
As duas integrais valem
, conforme o Teorema de Stokes.