Seja
, a helicóide
. Determine o fluxo do campo
através de
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície
dada pela helicoide parametrizada por
com
e
. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial
através de
. O conteúdo é superfície parametrizada e integral de superfície de
.
Passo 2
Calculamos os vetores tangentes
O produto vetorial dá um vetor normal não unitário:
Passo 3
Avaliamo-nos o campo em
r(u,v) :
logo
Passo 4
O produto escalar que aparece na integral de fluxo é
Usando
sin^2v-cos^2v=-cos2v , isso fica
Passo 5
Assim o fluxo é
Integramos primeiro em
u :
Passo 6
Agora integramos em
:
Temos
e
Portanto
Resposta
O fluxo de
F através de
S vale
8pi^4 .