Seja S, a helicóide r(u, v)=(u cos v, u sen v, v), 0 <= u <= 2,0 <= v <= 2 pi. Determine o fluxo do campo F=y i+x j+z^3 k através de S.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície S dada pela helicoide parametrizada por
r(u,v) = (ucos v,,usin v,,v),
com 0<= u<=2 e 0<= v<=2pi. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z)=y,i+x,j+z^3,k
através de S. O conteúdo é superfície parametrizada e integral de superfície de Fcdotn,dS.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes
ru = partialrpartial u = (cos v,,sin v,,0),
rv = partialrpartial v = (-usin v,,ucos v,,1)
O produto vetorial dá um vetor normal não unitário:
ru times rv = i & j & k cos v & sin v & 0 -,usin v & ucos v & 1 = (sin v,,-cos v,,u)

Passo 3

Avaliamo-nos o campo em r(u,v):
x = ucos v, y = usin v, z = v,
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F(r(u,v)) = (usin v,,ucos v,,v^3)

Passo 4

O produto escalar que aparece na integral de fluxo é
Fl(r(u,v)r)cdotl(rutimesrvr) = (usin v),sin v + (ucos v)(-,cos v) + v^3,u = u(sin^2v - cos^2v) + u,v^3
Usando sin^2v-cos^2v=-cos2v, isso fica
-,ucos2v + u,v^3

Passo 5

Assim o fluxo é
integral duplaDFcdot(rutimesrv),du,dv = integralv=0^2piintegralu=0^2l(-ucos2v + u,v^3r),du,dv
Integramos primeiro em u:
integral0^2l(-ucos2v + u,v^3r),du = l(-cos2v + v^3r)integral0^2u,du = l(-cos2v + v^3r)2^22 =2l(-cos2v + v^3r)

Passo 6

Agora integramos em :
Temos e
Portanto

Resposta

O fluxo de F através de S vale 8pi^4.

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