Encontre o fluxo de através da superfície consistindo da região triangular do plano que é cortada pelos planos coordenados. Use os vetores normais apontado para fora para orientar .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de através da superfície , que é o triângulo no plano
cortado pelos planos coordenados. O vetor normal deve apontar para fora do volume fechado que fica entre e os três planos coordenados. Para não montar diretamente a integral de superfície, vamos usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com as faces nos planos , e .
Passo 2
Denotemos por o tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados , , . A fronteira é composta por quatro faces:
A face dada por .
A face sobre .
A face sobre .
A face sobre .
Todas orientadas para fora de .
Passo 3
O Teorema da Divergência diz que
Como
temos
Passo 4
Para calcular , note que é o tetraedro cujos vértices são as interseções do plano com os eixos coordenados:
Logo, a matriz cujas colunas são esses três vetores de vértice é
e
Vol(V) =|det M|6 =|1cdot(-1)cdot2|6 =26 =13
Portanto
integral duplapartial VFcdotn,dS =3cdot13 =1
Passo 5
Agora, o fluxo total pela fronteira partial V é a soma dos fluxos pelas quatro faces. Vamos verificar que o fluxo pelas três faces dos planos coordenados é zero:
Em x=0, a normal é n=(-1,0,0) e Fcdotn=-x=0 já que x=0.
Em y=0, a normal é n=(0,-1,0) e Fcdotn=-y=0.
Em z=0, a normal é n=(0,0,-1) e Fcdotn=-z=0.
Logo, o fluxo combinado dessas três faces é 0.
Passo 6
Como o fluxo total pelo contorno partial V vale 1 e o fluxo nas três faces coordenadas é 0, o fluxo através da face S é
integral duplaSFcdotn,dS =1-0 =1
Resposta
O fluxo de F através de S, com normal voltada para fora do tetraedro, é 1.