Encontre o fluxo de F=x i+y j+z k através da superfície S consistindo da região triangular do plano 2 x-2 y+z=2 que é cortada pelos planos coordenados. Use os vetores normais apontado para fora para orientar S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F=x,i+y,j+z,k através da superfície S, que é o triângulo no plano
2x-2y+z=2
cortado pelos planos coordenados. O vetor normal deve apontar para fora do volume fechado que fica entre S e os três planos coordenados. Para não montar diretamente a integral de superfície, vamos usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com as faces nos planos x=0, y=0 e z=0.

Passo 2

Denotemos por V o tetraedro limitado pelo plano 2x-2y+z=2 e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0. A fronteira partial V é composta por quatro faces:
  1. A face S dada por 2x-2y+z=2.
  2. A face sobre x=0.
  3. A face sobre y=0.
  4. A face sobre z=0.
    Todas orientadas para fora de V.

Passo 3

O Teorema da Divergência diz que
integral duplapartial VFcdotn,dS =integral triplaV(nablacdotF),dV
Como
nablacdotF =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3,
temos
integral duplapartial VFcdotn,dS =3;Vol(V)

Passo 4

Para calcular Vol(V), note que V é o tetraedro cujos vértices são as interseções do plano com os eixos coordenados:
(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2),(0,0,0)
Logo, a matriz cujas colunas são esses três vetores de vértice é
M= 1&0&0 0&-1&0 0&0&2 ,
e
Vol(V) =|det M|6 =|1cdot(-1)cdot2|6 =26 =13
Portanto
integral duplapartial VFcdotn,dS =3cdot13 =1

Passo 5

Agora, o fluxo total pela fronteira partial V é a soma dos fluxos pelas quatro faces. Vamos verificar que o fluxo pelas três faces dos planos coordenados é zero:
  • Em x=0, a normal é n=(-1,0,0) e Fcdotn=-x=0 já que x=0.
  • Em y=0, a normal é n=(0,-1,0) e Fcdotn=-y=0.
  • Em z=0, a normal é n=(0,0,-1) e Fcdotn=-z=0.
    Logo, o fluxo combinado dessas três faces é 0.

Passo 6

Como o fluxo total pelo contorno partial V vale 1 e o fluxo nas três faces coordenadas é 0, o fluxo através da face S é
integral duplaSFcdotn,dS =1-0 =1

Resposta

O fluxo de F através de S, com normal voltada para fora do tetraedro, é 1.

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