Nos problemas a seguir, determine em que intervalo(s) a função dada é crescente ou decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima ou para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade, concavidade, extremos relativos, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função
Para isso vamos usar
para monotonicidade e
para concavidade.
Passo 2
Calcular a derivada primeira por cadeia:
Passo 3
Resolver
e analisar o sinal de
:
Como
para todo
e só o fator
muda de sinal, temos
-
se -
se .
Logoé decrescente em e crescente em .
Emocorre mudança de sinal de para , dando um mínimo relativo em .
Emnão há troca de sinal, logo não são extremos.
Passo 4
Calcular a derivada segunda:
Passo 5
Resolver
e analisar o sinal de
:
Testando intervalos:
-
: , (côncava para cima). -
: , (côncava para baixo). -
: , (côncava para cima).
Assim há pontos de inflexão em
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
-
é função par, simétrica em relação ao eixo . - Tende a
quando . - Tem mínimo relativo em
. - Passa por inflexões em
, , e . - É decrescente até
e crescente depois. - Alterna concavidade conforme Passo 5.
Resposta
Decrescente em
; crescente em
.
Côncava para cima em ; côncava para baixo em
.
Mínimo relativo em .
Pontos de inflexão em ,
,
e
.
Gráfico par, com vale em e curva subindo para
nas extremidades, passando pelos inflexões indicados.
Côncava para cima em
Mínimo relativo em
Pontos de inflexão em
Gráfico par, com vale em