Nos problemas a seguir, determine em que intervalo(s) a função dada é crescente ou decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima ou para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=(x^2-5)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade, concavidade, extremos relativos, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função
f(x) = (x^2 - 5)^3
Para isso vamos usar f'(x) para monotonicidade e f''(x) para concavidade.

Passo 2

Calcular a derivada primeira por cadeia:
f'(x) =3(x^2-5)^2 cdot ddx(x^2-5) =3(x^2-5)^2 cdot 2x =6x,(x^2-5)^2

Passo 3

Resolver f'(x)=0 e analisar o sinal de f':
6x,(x^2-5)^2=0 Longrightarrow x=0,;pmraiz5
Como (x^2-5)^2>=0 para todo x e só o fator x muda de sinal, temos
  • f'(x)<0 se x<0
  • f'(x)>0 se x>0.
    Logo f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).
    Em x=0 ocorre mudança de sinal de - para +, dando um mínimo relativo em f(0) = (-5)^3 = -125.
    Em x=pmraiz5 não há troca de sinal, logo não são extremos.

Passo 4

Calcular a derivada segunda:
f''(x) =ddxl[6x,(x^2-5)^2r] =6l[(x^2-5)^2 + xcdot2(x^2-5)cdot2xr] =6(x^2-5)l[(x^2-5)+4x^2r] =30(x^2-5)(x^2-1)

Passo 5

Resolver f''(x)=0 e analisar o sinal de f'':
30(x^2-5)(x^2-1)=0 Longrightarrow x=pm1,;pmraiz5
Testando intervalos:
  • lvert xrvert<1: x^2-5<0, x^2-1<0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
  • 1<lvert xrvert<raiz5: x^2-5<0, x^2-1>0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
  • lvert xrvert>raiz5: x^2-5>0, x^2-1>0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
    Assim há pontos de inflexão em
x=pm1,;f(pm1)=(-4)^3=-64, x=pmraiz5,;f(pmraiz5)=0

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • f é função par, simétrica em relação ao eixo y.
  • Tende a +infty quando xtopminfty.
  • Tem mínimo relativo em (0,-125).
  • Passa por inflexões em (-1,-64), (1,-64), (-raiz5,0) e (raiz5,0).
  • É decrescente até x=0 e crescente depois.
  • Alterna concavidade conforme Passo 5.

Resposta

Decrescente em (-infty,0); crescente em (0,infty).
Côncava para cima em (-infty,-raiz5)cup(-1,1)cup(raiz5,infty); côncava para baixo em (-raiz5,-1)cup(1,raiz5).
Mínimo relativo em l(0,-125r).
Pontos de inflexão em l(-1,-64r), l(1,-64r), l(-raiz5,0r) e l(raiz5,0r).
Gráfico par, com vale em (0,-125) e curva subindo para +infty nas extremidades, passando pelos inflexões indicados.

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