Encontre integral duplaS x^2 d S, onde S é a superfície do cubo [-2,2] times[-2,2] times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS x^2,dS
onde S é a superfície do cubo [-2,2]times[-2,2]times[-2,2].
O conteúdo aqui é integral de uma função escalar sobre uma superfície plana composta por seis faces. Vamos decompor S nas seis faces do cubo e somar as contribuições.

Passo 2

Considere as duas faces em que x é constante, isto é, x=2 e x=-2.
Nessas faces temos x^2=4 constante e cada face é o quadrado (y,z)in[-2,2]times[-2,2] de área 4times4=16.
Logo, em cada face
integralface x=pm2x^2,dS =4cdot16=64
Como há duas faces, a soma dessas contribuições é
64+64=128

Passo 3

Agora as duas faces em que y é constante ( y=2 e y=-2).
Nessas faces paramos por (x,z)in[-2,2]times[-2,2] e dS=dx,dz. Assim,
integralface y=pm2x^2,dS =integralx=-2^2!integralz=-2^2x^2,dz,dx =integralx=-2^2x^2l(underbraceintegralz=-2^2dz4r)dx =4integral-2^2x^2dx
Como integral-2^2x^2dx=2integral0^2x^2dx=2cdot83=163, cada face contribui com
4cdot163=643
Duas faces dão no total
2cdot643=1283

Passo 4

As duas faces em que z é constante ( z=2 e z=-2) são análogas ao caso y= constante, pois paramos por (x,y)in[-2,2]times[-2,2] e obtemos de novo
total em z=pm2 =2cdot643 =1283

Passo 5

Somando as contribuições das três direções:
128 ;+; 1283 ;+; 1283 =128+2563 =384+2563 =6403

Resposta

integral duplaS x^2,dS = 6403

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