Suponha que, em certa cidade, M(r) milhares de novas casas serão construídas se a taxa fixa de juros para um financiamento em 30 anos for r %, em que
M(r)=1+0,02 r1+0,009 r^2
Determine M^prime(r) e M^prime prime(r).

Passo 1

O enunciado define a função
M(r)=1+0,02,r1+0,009,r^2
e pede M'(r) e M''(r).
O conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente para derivadas e, na sequência, da regra da cadeia e produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para achar M'(r) usamos a regra do quociente em
f(r)=1+0,02,r, g(r)=1+0,009,r^2
Calculamos
f'(r)=0,02, g'(r)=2cdot0,009,r=0,018,r
Logo,
M'(r) =f'(r),g(r)-f(r),g'(r)[g(r)]^2 =0,02,(1+0,009,r^2)-(1+0,02,r),(0,018,r)(1+0,009,r^2)^2
Desenvolvendo o numerador:
0,02+0,00018,r^2-0,018,r-0,00036,r^2 =0,02-0,018,r-0,00018,r^2,
logo
M'(r) =0,02-0,018,r-0,00018,r^2(1+0,009,r^2)^2

Passo 3

Para M''(r) tratamos
M'(r)=N(r)D(r), N(r)=0,02-0,018,r-0,00018,r^2, D(r)=(1+0,009,r^2)^2
Derivamos
N'(r)=-0,018-0,00036,r, D'(r)=2,(1+0,009,r^2)cdot(0,018,r)=0,036,r,(1+0,009,r^2)
Aplicando novamente a regra do quociente,
M''(r) =N'(r),D(r)-N(r),D'(r)[D(r)]^2 =(-0,018-0,00036,r)(1+0,009,r^2)^2- (0,02-0,018,r-0,00018,r^2);0,036,r,(1+0,009,r^2)(1+0,009,r^2)^4
Cancelando um fator (1+0,009,r^2) e simplificando o numerador, chega\‐se a
M''(r) =-0,018-0,00108,r+0,000486,r^2+0,00000324,r^3 (1+0,009,r^2)^3

Resposta

M'(r)=0,02-0,018,r-0,00018,r^2(1+0,009,r^2)^2, M''(r)=-0,018-0,00108,r+0,000486,r^2+0,00000324,r^3 (1+0,009,r^2)^3

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