Encontre o termo geral das sequências abaixo:
\left{\frac{-1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{-3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots\right}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
,-tfrac12,;tfrac23,;-tfrac34,;tfrac45,;dots
e pede o termo geral. Para isso, vamos identificar como variam o numerador, o denominador e o sinal de cada termo.

Passo 2

Observando os numeradores dos termos -1/2,2/3,-3/4,4/5,dots, vemos a sequência
1,,2,,3,,4,dots
ou seja, o numerador do n-ésimo termo é simplesmente n.

Passo 3

Agora olhamos os denominadores 2,3,4,5,dots. Claramente isso corresponde a
n+1
quando estamos no termo de índice n.

Passo 4

Falta o sinal: o primeiro termo é negativo, o segundo positivo, o terceiro negativo e assim por diante. Isso caracteriza uma alternância que podemos escrever como
(-1)^n,
pois para n ímpar (-1)^n=-1 e para n par (-1)^n=+1.

Passo 5

Juntando numerador, denominador e sinal, obtemos o termo geral
an = (-1)^n,nn+1

Resposta

an = (-1)^n,nn+1

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