Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, 1) através da \sigma, onde \sigma é a porcão do paraboloide r(u, v)=\left(u \cos (v), u \operatorname{sen}(v), 1-u^{2}\right) \operatorname{com} 1 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,1) através da superfície \sigma parametrizada por
r(u,v)=\bigl(u\cos v,\;u\operatorname{sen} v,\;1-u^2\bigr),
com 1\le u\le2 e 0\le v\le2\pi. Vamos usar a fórmula do fluxo em parametrização:
\iint_{\sigma}F\cdot n\,dS =\iint_{D}F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
r_u=(\cos v,\;\operatorname{sen} v,\;-2u), \qquad r_v=(-u\operatorname{sen} v,\;u\cos v,\;0).

Passo 3

Formamos o produto vetorial
r_u\times r_v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \cos v&\operatorname{sen} v&-2u\\\\ -\,u\operatorname{sen} v&u\cos v&0 \end{vmatrix} =(2u^2\cos v,\;2u^2\operatorname{sen} v,\;u).

Passo 4

Em cada ponto da superfície temos
F\bigl(r(u,v)\bigr)=(u\cos v,\;u\operatorname{sen} v,\;1).
O produto escalar é
F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr) = u\cos v\,(2u^2\cos v)+u\operatorname{sen} v\,(2u^2\operatorname{sen} v)+1\cdot u =2u^3(\cos^2v+\operatorname{sen}^2v)+u =2u^3+u.

Passo 5

Agora integramos sobre a região D=\{1\le u\le2,\;0\le v\le2\pi\}:
\iint_{\sigma}F\cdot n\,dS =\int_{v=0}^{2\pi}\!\int_{u=1}^{2}(2u^3+u)\,du\,dv.
Compute inner:
\int_{1}^{2}(2u^3+u)\,du =\Bigl[\tfrac{u^4}{2}+\tfrac{u^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(8+2\bigr)-\bigl(\tfrac12+\tfrac12\bigr)=10-1=9.
Logo
\iint_{\sigma}F\cdot n\,dS =\int_{0}^{2\pi}9\,dv=18\pi.

Resposta

O fluxo de F através de \sigma é 18\pi.

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