Questão ( 20 pontos) Considere a função
.
a) Determine a taxa de variação de
em
, na direção do vetor
.
b) Em que direção
varia mais rapidamente em
?
c) Qual é a taxa máxima de variação em
?
a) Determine a taxa de variação de
b) Em que direção
c) Qual é a taxa máxima de variação em
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção de
, além de identificar a direção de máxima variação e o valor dessa taxa máxima. Vamos usar cálculo de gradiente, pois a derivada direcional em uma direção unitária
é dado por
e a direção de máxima variação é a de
com magnitude
.
Passo 2
Primeiro encontramos o gradiente geral de
. Se definirmos
então
e
Como
, vale por regra da cadeia
No ponto
temos
e
, logo
Passo 3
Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário em
. Como
,
então
Assim
Passo 4
A direção de máxima variação de
em
é a mesma direção do gradiente em
, ou seja,
normalizado, pois normalmente se expressa como vetor unitário
Passo 5
A taxa máxima de variação em
é justamente a magnitude do gradiente em
, ou seja,
Resposta
a) A derivada direcional vale
.
b) A direção de máxima variação é .
c) A taxa máxima de variação é .
b) A direção de máxima variação é
c) A taxa máxima de variação é