Questão ( 20 pontos) Considere a função f(x, y, z)=\operatorname{tg}(x+2 y+3 z).
a) Determine a taxa de variação de f em P=(-5,1,1), na direção do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
b) Em que direção f varia mais rapidamente em P ?
c) Qual é a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=\operatorname{tg}(x+2y+3z)
no ponto P=(-5,1,1) na direção de \vec v=\vec i+\vec j-\vec k, além de identificar a direção de máxima variação e o valor dessa taxa máxima. Vamos usar cálculo de gradiente, pois a derivada direcional em uma direção unitária \vec u é dado por
D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u
e a direção de máxima variação é a de \nabla f(P) com magnitude \|\nabla f(P)\|.

Passo 2

Primeiro encontramos o gradiente geral de f. Se definirmos
u(x,y,z)=x+2y+3z,
então
f(x,y,z)=\operatorname{tg}(u)
e
\frac{\partial f}{\partial u}=\operatorname{sec}^2(u).
Como \nabla u=(1,2,3), vale por regra da cadeia
\nabla f(x,y,z)=\operatorname{sec}^2(x+2y+3z)\,(1,2,3).
No ponto P temos u(-5,1,1)=-5+2\cdot1+3\cdot1=0 e \operatorname{sec}^2(0)=1, logo
\nabla f(P)=(1,2,3).

Passo 3

Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário em \vec v. Como \vec v=(1,1,-1),
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3},
então
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr).
Assim
D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u =(1,2,3)\cdot\Bigl(\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\Bigr) =\frac{1+2-3}{\sqrt3}=0.

Passo 4

A direção de máxima variação de f em P é a mesma direção do gradiente em P, ou seja,
(1,2,3)
normalizado, pois normalmente se expressa como vetor unitário
\frac{(1,2,3)}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.

Passo 5

A taxa máxima de variação em P é justamente a magnitude do gradiente em P, ou seja,
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.

Resposta

a) A derivada direcional vale 0.
b) A direção de máxima variação é \displaystyle\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.
c) A taxa máxima de variação é \sqrt{14}.

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