A função y(x, t)=(15,0 \mathrm{~cm}) \cos (\pi x-15 \pi t), com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual a velocidade transversal de um ponta da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y=+10 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda em uma corda esticada
y(x,t) = (15{,}0\text{ cm})\cos\bigl(\pi x - 15\pi t\bigr)
com x em metros e t em segundos, e pede a velocidade transversal v_y = \partial y/\partial t de um ponto da corda no instante em que y=+10\text{ cm}.

Passo 2

Calculemos a derivada temporal de y(x,t). Seja
\varphi = \pi x - 15\pi t,
então
y = A\cos\varphi,\quad A = 15{,}0\text{ cm}.
Dessa forma,
\frac{\partial y}{\partial t} = -A\,\sin\varphi\;\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -A\,\sin\varphi\;(-15\pi) = 15\pi\,A\,\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo A=15{,}0\text{ cm}, obtemos
v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 15\pi \times 15{,}0\text{ cm}\,\sin\varphi = 225\pi\;\sin\varphi\quad(\text{cm/s}).

Passo 4

No instante pedido, y=10\text{ cm}, logo
\cos\varphi = \frac{y}{A} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.
Isto implica
\sin\varphi = \pm\sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 5

Logo,
v_y = 225\pi\;\Bigl(\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\Bigr) = \pm 75\pi\sqrt{5}\quad(\text{cm/s}).
Em unidades de \text{m/s},
v_y = \pm\frac{75\pi\sqrt{5}}{100} \approx \pm 5{,}27\;\text{m/s}.

Resposta

\displaystyle v_y = \pm 75\pi\sqrt{5}\text{ cm/s}\approx \pm 5{,}27\text{ m/s}.

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