Resolva as equações diferenciais abaixo:
x \frac{d y}{d x}=4 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx}=4\,y
e pede a solução geral. Como podemos escrever a derivada de modo que apareçam y de um lado e x do outro, trata-se de uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{4\,y}{x}.
Em seguida separamos as variáveis levando todos os termos com y para um lado e com x para o outro:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{4}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{4}{x}\,dx.
Isso dá
\ln\bigl|y\bigr| = 4\,\ln\bigl|x\bigr| + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos exponenciação para eliminar o logaritmo:
\bigl|y\bigr| = e^{\,4\ln|x| + C_1} = e^{C_1}\,e^{4\ln|x|} = C\,|x|^4,
onde C=e^{C_1} é uma constante arbitrária (podemos permitir C real, positivo ou negativo, e absorber o sinal em C). Logo
y = C\,x^4.

Resposta

A solução geral da equação diferencial x\,\frac{dy}{dx}=4y é
y = C\,x^4,
onde C é uma constante real.

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