Resolva as equações diferenciais abaixo:
x \frac{d y}{d x}=4 y
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx}=4\,y
e pede a solução geral. Como podemos escrever a derivada de modo que apareçam y de um lado e x do outro, trata-se de uma equação de variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{4\,y}{x}.
Em seguida separamos as variáveis levando todos os termos com y para um lado e com x para o outro:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{4}{x}\,dx.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{4}{x}\,dx.
Isso dá
\ln\bigl|y\bigr| = 4\,\ln\bigl|x\bigr| + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.
Passo 4
Aplicamos exponenciação para eliminar o logaritmo: