Encontre a integral triplo usando coordenadas cilíndricas ou esféricas:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}=1 \\\ z=0 \\\ z=4-x}} z d x d y d z ; \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\\ x^{2}+y^{2}-y=0}} 1 d x d y d z ; \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2} \\\ z \geq 0}} z d x d y d z, \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2}}} z d x d y d z
Passo 1
Vou organizar claramente o que cada integral pede e quais informações o enunciado deu, para não nos perder depois.
Dados: a região é limitada lateralmente pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}=1, por baixo pelo plano \,z=0 e por cima pelo plano \,z=4-x. Pede-se a integral tripla do integrando z sobre essa região.
Dados: a região está dentro da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e também dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}-y=0. Pede-se o volume dessa interseção (pois o integrando é 1).
Dados: região dentro da bola unitária \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1, sujeita à condição \,x^{2}+y^{2}\le z^{2} (que é um cone) e \,z\ge 0. Pede-se a integral de z sobre essa região.
Integral 4:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2}}} z\,dx\,dy\,dz.
Dados: a primeira superfície é a esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az (equivalente a (z-a)^{2}+x^{2}+y^{2}=a^{2}), e a segunda condição é o mesmo cone \,x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Interpreto como a região limitada interiormente pela esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2az e pelo cone \,x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Pede-se a integral de z sobre essa região. (Assumo a>0 para que a esfera seja não degenerada e a região exista.)
Agora que está tudo explícito (o que é pedido e as superfícies que limitam cada região), começamos a resolver uma a uma, transformando coordenadas quando for conveniente e explicando cada passo.
Passo 2
Resolução da Integral 1 — escolha de coordenadas e justificativa (muito didático):
Observação: a região é circularmente simétrica em torno do eixo z (pois é limitada por x^{2}+y^{2}=1), e as superfícies superiores/inferiores são planas. Para regiões com x^{2}+y^{2} aparece naturalmente usar coordenadas cilíndricas: \,x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z.
Breve aula sobre coordenadas cilíndricas:
r é a distância radial ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, z é o mesmo z cartesiano.
Elemento de volume: dV = r\,dr\,d\theta\,dz. É crucial: quando mudamos de (x,y) para (r,\theta) aparece o fator Jacobi r.
Aplicando ao caso:
O cilindro x^{2}+y^{2}=1 vira r=1. Então 0\le r\le 1.
O plano inferior z=0 e superior z=4-x = 4 - r\cos\theta. Então, para cada (r,\theta), 0\le z\le 4-r\cos\theta.
\theta varia de 0 a 2\pi para cobrir todo o círculo.
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta = \pi (porque a média de \cos^{2} é 1/2, então integral é 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi).
Assim o valor final é
8\pi + \frac{1}{8}\pi = \frac{65\pi}{8}.
Passo 4
Resolução da Integral 2 — entendimento geométrico e mudança para coordenadas polares/cilíndricas:
A superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é a esfera unitária.
A superfície x^{2}+y^{2}-y=0 é um cilindro cujas seções no plano xy são círculos. Vamos reescrever o cilindro em coordenadas polares (r,\theta), onde x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
A solução não trivial é r=\sin\theta. Portanto o cilindro corresponde à superfície r=\sin\theta em coordenadas polares; a região dentro do cilindro é 0\le r\le \sin\theta (quando \sin\theta\ge 0). Como r\ge 0, precisamos de \sin\theta\ge 0, ou seja \theta\in[0,\pi]. Para \theta fora desse intervalo \sin\theta<0 e a desigualdade 0\le r\le \sin\theta não teria pontos — logo o \theta efetivo é [0,\pi].
Na esfera, em coordenadas cilíndricas (ou polares para x,y): r^{2}+z^{2}\le 1. Para dado r, z varia de -\sqrt{1-r^{2}} a +\sqrt{1-r^{2}}.
O integrando é 1, logo a integral é o volume da região:
Para integrar \cos\varphi\sin\varphi podemos usar a identidade \cos\varphi\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\sin(2\varphi) ou a substituição u=\sin\varphi. Usando a identidade:
Multiplicando pelo fator \cos\varphi\sin\varphi que já estava fora, o integrando em \varphi vira 4a^{4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi.
Integramos em \varphi de 0 a \pi/4. Faça a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/4, u=\tfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}.