Encontre a integral triplo usando coordenadas cilíndricas ou esféricas:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}=1 \\\ z=0 \\\ z=4-x}} z d x d y d z ; \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\\ x^{2}+y^{2}-y=0}} 1 d x d y d z ; \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2} \\\ z \geq 0}} z d x d y d z, \quad \iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2}}} z d x d y d z

Passo 1

Vou organizar claramente o que cada integral pede e quais informações o enunciado deu, para não nos perder depois.
  1. Integral 1:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}=1 \\\ z=0 \\\ z=4-x}} z\,dx\,dy\,dz.
Dados: a região é limitada lateralmente pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}=1, por baixo pelo plano \,z=0 e por cima pelo plano \,z=4-x. Pede-se a integral tripla do integrando z sobre essa região.
  1. Integral 2:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\\ x^{2}+y^{2}-y=0}} 1\,dx\,dy\,dz.
Dados: a região está dentro da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e também dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}-y=0. Pede-se o volume dessa interseção (pois o integrando é 1).
  1. Integral 3:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2} \\\ z \geq 0}} z\,dx\,dy\,dz.
Dados: região dentro da bola unitária \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1, sujeita à condição \,x^{2}+y^{2}\le z^{2} (que é um cone) e \,z\ge 0. Pede-se a integral de z sobre essa região.
  1. Integral 4:
\iiint_{\substack{x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z \\\ x^{2}+y^{2} \leq z^{2}}} z\,dx\,dy\,dz.
Dados: a primeira superfície é a esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az (equivalente a (z-a)^{2}+x^{2}+y^{2}=a^{2}), e a segunda condição é o mesmo cone \,x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Interpreto como a região limitada interiormente pela esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2az e pelo cone \,x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Pede-se a integral de z sobre essa região. (Assumo a>0 para que a esfera seja não degenerada e a região exista.)
Agora que está tudo explícito (o que é pedido e as superfícies que limitam cada região), começamos a resolver uma a uma, transformando coordenadas quando for conveniente e explicando cada passo.

Passo 2

Resolução da Integral 1 — escolha de coordenadas e justificativa (muito didático):
  • Observação: a região é circularmente simétrica em torno do eixo z (pois é limitada por x^{2}+y^{2}=1), e as superfícies superiores/inferiores são planas. Para regiões com x^{2}+y^{2} aparece naturalmente usar coordenadas cilíndricas: \,x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z.
Breve aula sobre coordenadas cilíndricas:
  • r é a distância radial ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, z é o mesmo z cartesiano.
  • Elemento de volume: dV = r\,dr\,d\theta\,dz. É crucial: quando mudamos de (x,y) para (r,\theta) aparece o fator Jacobi r.
Aplicando ao caso:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=1 vira r=1. Então 0\le r\le 1.
  • O plano inferior z=0 e superior z=4-x = 4 - r\cos\theta. Então, para cada (r,\theta), 0\le z\le 4-r\cos\theta.
  • \theta varia de 0 a 2\pi para cobrir todo o círculo.
A integral em cilíndricas:
\iiint z\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{4-r\cos\theta} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Cálculo explícito da Integral 1 — integrações passo a passo:
  1. Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{4-r\cos\theta} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{4-r\cos\theta} = \frac{(4-r\cos\theta)^{2}}{2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\cdot \frac{(4-r\cos\theta)^{2}}{2}\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\left(16-8r\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta\right)\,dr\,d\theta.
  1. Expandimos e integramos em r. Dividimos termo a termo:
  • Para 16: \int_{0}^{1}16 r\,dr = 16\cdot\frac{1}{2}=8.
  • Para -8r\cos\theta: \int_{0}^{1} (-8\cos\theta) r^{2}\,dr = -8\cos\theta\cdot\frac{1}{3} = -\frac{8}{3}\cos\theta.
  • Para r^{3}\cos^{2}\theta: \int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \frac{1}{4}, então o termo dá \frac{1}{4}\cos^{2}\theta.
Multiplicando tudo por \tfrac{1}{2} (o fator fora), obtemos a função de \theta:
4 - \frac{4}{3}\cos\theta + \frac{1}{8}\cos^{2}\theta.
  1. Integramos em \theta de 0 a 2\pi:
  • \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.
  • \int_{0}^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0.
  • \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta = \pi (porque a média de \cos^{2} é 1/2, então integral é 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi).
Assim o valor final é
8\pi + \frac{1}{8}\pi = \frac{65\pi}{8}.

Passo 4

Resolução da Integral 2 — entendimento geométrico e mudança para coordenadas polares/cilíndricas:
  • A superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é a esfera unitária.
  • A superfície x^{2}+y^{2}-y=0 é um cilindro cujas seções no plano xy são círculos. Vamos reescrever o cilindro em coordenadas polares (r,\theta), onde x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
Transformando o cilindro:
x^{2}+y^{2}-y = r^{2} - r\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r-\sin\theta)=0.
A solução não trivial é r=\sin\theta. Portanto o cilindro corresponde à superfície r=\sin\theta em coordenadas polares; a região dentro do cilindro é 0\le r\le \sin\theta (quando \sin\theta\ge 0). Como r\ge 0, precisamos de \sin\theta\ge 0, ou seja \theta\in[0,\pi]. Para \theta fora desse intervalo \sin\theta<0 e a desigualdade 0\le r\le \sin\theta não teria pontos — logo o \theta efetivo é [0,\pi].
  • Na esfera, em coordenadas cilíndricas (ou polares para x,y): r^{2}+z^{2}\le 1. Para dado r, z varia de -\sqrt{1-r^{2}} a +\sqrt{1-r^{2}}.
  • O integrando é 1, logo a integral é o volume da região:
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{\sin\theta}\int_{z=-\sqrt{1-r^{2}}}^{\sqrt{1-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
(lembrando que dV=r\,dr\,d\theta\,dz na ordem que escolhemos).

Passo 5

Cálculo explícito da Integral 2 — integrações passo a passo:
  1. Integramos em z primeiro:
\int_{-\sqrt{1-r^{2}}}^{\sqrt{1-r^{2}}} dz = 2\sqrt{1-r^{2}}.
A integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin\theta} 2r\sqrt{1-r^{2}}\,dr\,d\theta.
  1. Para integrar em r, usamos a substituição u=1-r^{2}, daí du=-2r\,dr. Então
\int_{0}^{\sin\theta} 2r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \int_{u=1}^{1-\sin^{2}\theta} (-)\sqrt{u}\,du = \left[-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{\cos^{2}\theta} = \frac{2}{3}\big(1-(\cos^{2}\theta)^{3/2}\big).
Explicando: (\cos^{2}\theta)^{3/2} = |\cos\theta|^{3}. Para \theta\in[0,\pi] usamos |\cos\theta|.
  1. Então a integral vira
\int_{0}^{\pi} \frac{2}{3}\big(1-|\cos\theta|^{3}\big)\,d\theta = \frac{2}{3}\left(\int_{0}^{\pi} 1\,d\theta - \int_{0}^{\pi} |\cos\theta|^{3}\,d\theta\right).
  1. Avaliando as integrais em \theta:
  • \int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\pi.
  • \int_{0}^{\pi} |\cos\theta|^{3}\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2} \cos^{3}\theta\,d\theta (simetria). E
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta = \left[\sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3}\right]_{0}^{\pi/2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Então \int_{0}^{\pi} |\cos\theta|^{3}\,d\theta = 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
  1. Substituindo:
\frac{2}{3}\left(\pi - \frac{4}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{8}{9} = \frac{6\pi - 8}{9}.
Portanto o volume pedido é \displaystyle \frac{6\pi-8}{9}.

Passo 6

Resolução da Integral 3 — escolha de coordenadas e justificativa:
  • A condição x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1 sugere usar coordenadas esféricas: \rho,\varphi,\theta com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
  • Relação entre ângulos: \varphi é o ângulo com o eixo z (colatitude), \theta é o mesmo ângulo azimutal do cilindro.
  • Elemento de volume em esféricas: dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le z^{2} em esféricas fica
\rho^{2}\sin^{2}\varphi \le \rho^{2}\cos^{2}\varphi \quad\Longrightarrow\quad \sin^{2}\varphi \le \cos^{2}\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan^{2}\varphi\le 1.
Isso dá \varphi\le \pi/4 (e também \varphi\ge 0). Juntando com z\ge 0 temos \varphi\in[0,\pi/4] (pois z\ge0 corresponde a \varphi\in[0,\pi/2]).
  • A bola unitária dá 0\le \rho \le 1.
  • \theta varia 0 a 2\pi.
  • O integrando z é \rho\cos\varphi. Então a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \big(\rho\cos\varphi\big)\cdot \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Cálculo explícito da Integral 3 — integrações passo a passo:
  1. Integramos em \rho:
\int_{0}^{1} \rho^{3}\,d\rho = \frac{1}{4}.
Fica então
\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi \,d\varphi = \frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi \,d\varphi.
  1. Para integrar \cos\varphi\sin\varphi podemos usar a identidade \cos\varphi\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\sin(2\varphi) ou a substituição u=\sin\varphi. Usando a identidade:
\int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi \,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4}\big(1-0\big)=\frac{1}{4}.
  1. Multiplicando todos os fatores:
\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}.
Portanto a integral 3 vale \displaystyle \frac{\pi}{8}.

Passo 8

Resolução da Integral 4 — descrição, troca para esféricas e limites:
  • Reescrevemos a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az. Completemos quadrados:
x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2},
ou seja, esfera de raio |a| com centro em (0,0,a). Assumimos a>0 (se a\le 0 a interpretação muda ou a região seria vazia/degenerada).
  • Em coordenadas esféricas a equação da esfera fica:
\rho^{2} = 2a\rho\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \rho = 2a\cos\varphi,
(precisamos de \cos\varphi\ge 0 para \rho\ge0, logo \varphi\in[0,\pi/2] é coerente).
  • A condição do cone x^{2}+y^{2}\le z^{2} já tratada antes dá \varphi\le \pi/4.
  • Assim, para cada \varphi\in[0,\pi/4], \rho varia de 0 a \rho=2a\cos\varphi. \theta varia 0 a 2\pi.
  • O integrando z=\rho\cos\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. A integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2a\cos\varphi} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 9

Cálculo explícito da Integral 4 — integrações passo a passo:
  1. Integramos em \rho:
\int_{0}^{2a\cos\varphi} \rho^{3}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{2a\cos\varphi} = \frac{(2a\cos\varphi)^{4}}{4} = 4a^{4}\cos^{4}\varphi.
Multiplicando pelo fator \cos\varphi\sin\varphi que já estava fora, o integrando em \varphi vira 4a^{4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi.
  1. Integramos em \varphi de 0 a \pi/4. Faça a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/4, u=\tfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}.
\int_{0}^{\pi/4}4a^{4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = 4a^{4}\int_{1}^{2^{-1/2}} u^{5}(-du) =4a^{4}\int_{2^{-1/2}}^{1} u^{5}\,du.
Agora
\int_{2^{-1/2}}^{1} u^{5}\,du = \left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{2^{-1/2}}^{1} = \frac{1}{6}\left(1 - (2^{-1/2})^{6}\right).
Note que (2^{-1/2})^{6}=2^{-3}=\tfrac{1}{8}. Então o resultado é \tfrac{1}{6}(1-\tfrac{1}{8})=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{7}{8}=\tfrac{7}{48}.
Multiplicando pelo 4a^{4} obtemos \,4a^{4}\cdot \tfrac{7}{48} = \tfrac{7}{12}a^{4}.
  1. Finalmente integramos em \theta (fator 2\pi):
2\pi\cdot \frac{7}{12}a^{4} = \frac{7\pi}{6} a^{4}.
Portanto a integral 4 vale \displaystyle \frac{7\pi}{6}a^{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{65\pi}{8}\n \displaystyle \frac{6\pi-8}{9}\n \displaystyle \frac{\pi}{8}\n \displaystyle \frac{7\pi}{6}\,a^{4}

Exercícios relacionados