Encontre a forma canônica de Jordan associada tildeA s matrizes A e B e uma base em que cada uma dessas matrizes estarão nessa forma, onde:
A=(ccc 3 & -1 & 1 2 & 0 & 1 1 & -1 & 2 ) e B=(lll 2 & 5 & 1 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 )

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as matrizes
A= 3 & -1 & 1 2 & 0 & 1 1 & -1 & 2 , B= 2 & 5 & 1 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ,
e o objetivo é determinar, para cada uma, (i) a forma canônica de Jordan e (ii) uma base em que a matriz assuma essa forma. Para isso usaremos polinômio característico, valores próprios, espaços próprios e cadeias de vetores generalizados.

Passo 2

Polinômio característico de A:
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 3-lambda & -1 & 1 2 & -lambda & 1 1 & -1 & 2-lambda =lambda^3-5lambda^2+8lambda-4 =(lambda-1)(lambda-2)^2
Logo, os valores próprios são lambda=1 (mult.\ alg.\ 1) e lambda=2 (mult.\ alg.\ 2).

Passo 3

Dimensões dos espaços próprios de A:
– Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, que leva a
2x-y+z=0,;x-y+z=0 ;Longrightarrow;x=0,;z=y ;Longrightarrow; E1=span(0,1,1),
dimensão 1.
– Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0, que leva a
x-y+z=0,;x-y=0 ;Longrightarrow;x=y,;z=0 ;Longrightarrow; E2=span(1,1,0),
dimensão 1.
Como a mult.\ alg.\ em lambda=2 é 2 e a geom.\ é 1, haverá um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=2; para lambda=1 há bloco de tamanho 1.

Passo 4

Construção das cadeias de vetores para A:
lambda=1: basta o vetor próprio
f1=(0,1,1), A,f1=1cdot f1
lambda=2: escolhemos o vetor próprio
e1=(1,1,0), (A-2I)e1=0,
e buscamos e2 tal que (A-2I)e2=e1. Tomando e2=(0,0,1) verifica-se
(A-2I)e2 =1&-1&12&-2&11&-1&0 001 =110=e1

Passo 5

Base que leva A à forma de Jordan e forma canônica:
Base ordenada
BA=l,f1=(0,1,1),;e1=(1,1,0),;e2=(0,0,1)r
Na base BA, a matriz de A fica
JA= 1&0&0 0&2&1 0&0&2 ;=; diagl([1],,J2(2)r),
com blocos de Jordan de ordens 1 em lambda=1 e 2 em lambda=2.

Passo 6

Polinômio característico de B: por ser triangular com diagonal toda em 2,
chiB(lambda)=(2-lambda)^3,
logo único valor próprio lambda=2 de mult.\ alg.\ 3.

Passo 7

Espaço próprio de B para lambda=2:
(B-2I)v=0 Longrightarrow 5y+z=0 ;Longrightarrow; v=t,(1,0,0)+s,(0,1,-5),
dimensão 2. Como mult.\ alg.\ é 3 e geom.\ é 2, teremos um bloco de Jordan de ordem 2 e outro de ordem 1.

Passo 8

Cadeia de vetores para B:
– Vetor próprio para formar bloco 2times2:
u1=(1,0,0), (B-2I)u1=0
– Vetor generalizado associado: resolver (B-2I)u2=u1. Tomando
u2=(0,0,1),
vem
(B-2I)u2 =0&5&10&0&00&0&0 001 =100=u1
– Segundo vetor próprio isolado (bloco 1times1):
u3=(0,1,-5)

Passo 9

Base que leva B à forma de Jordan e forma canônica:
Base ordenada
BB=,u1=(1,0,0),;u2=(0,0,1),;u3=(0,1,-5)
Na base BB, a matriz de B fica
JB= 2&1&0 0&2&0 0&0&2 ;=; diagl(J2(2),,[2]r),
com um bloco de Jordan 2times2 e um bloco 1times1, ambos em lambda=2.

Resposta

Para A:
JA= 1&0&0 0&2&1 0&0&2 , BA=(0,1,1),,(1,1,0),,(0,0,1)
Para B:
JB= 2&1&0 0&2&0 0&0&2 , BB=(1,0,0),,(0,0,1),,(0,1,-5)

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