Seja pT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-5) lambda, para lambda in C, o polinômio característico do operador linear T in L(V), onde dim V(2)=2.
Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear T?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
pT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-5),lambda
de um operador T. Logo os autovalores são
lambda=2 com multiplicidade algébrica 3, lambda=5 com multiplicidade algébrica 1 e lambda=0 com multiplicidade algébrica 1.
Além disso sabemos que
dimker(T-2I)=2, ou seja, a multiplicidade geométrica em lambda=2 é 2.
O conteúdo aqui é a forma canônica de Jordan, que usa as multiplicidades algébrica e geométrica para determinar o número e o tamanho dos blocos de Jordan.

Passo 2

Para cada autovalor lambdai temos:
lambda=2: algébrica a2=3, geométrica g2=2.
lambda=5: algébrica a5=1, geométrica g5=1 (todo autovalor simples tem espaço próprio unidimensional).
lambda=0: algébrica a0=1, geométrica g0=1.

Passo 3

Na teoria de Jordan, o número de blocos de Jordan para cada autovalor lambdai é igual à sua multiplicidade geométrica gi, e as somas dos tamanhos desses blocos deve dar a multiplicidade algébrica ai.
  • Para lambda=2 temos g2=2 blocos que somam tamanho 3. A única partição de 3 em 2 partes positivas é 2+1. Logo aparecem um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1.
  • Para lambda=5 temos g5=1 bloco de tamanho 1.
  • Para lambda=0 temos g0=1 bloco de tamanho 1.

Passo 4

Portanto a forma canônica de Jordan de T é a matriz em blocos diagonais
J=diagl(J2(2),,J1(2),,J1(5),,J1(0)r),
onde
J2(2)=2&10&2,; J1(2)=(2),; J1(5)=(5),; J1(0)=(0)

Resposta

A forma de Jordan de T é
diagl(J2(2),,J1(2),,J1(5),,J1(0)r)

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