Seja
, para
, o polinômio característico do operador linear
, onde
.
Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear
?
Quais as possíveis formas canônicas de Jordan associadas ao operador linear
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico
de um operador
. Logo os autovalores são
com multiplicidade algébrica 3,
com multiplicidade algébrica 1 e
com multiplicidade algébrica 1.
Além disso sabemos que
, ou seja, a multiplicidade geométrica em
é 2.
O conteúdo aqui é a forma canônica de Jordan, que usa as multiplicidades algébrica e geométrica para determinar o número e o tamanho dos blocos de Jordan.
Além disso sabemos que
O conteúdo aqui é a forma canônica de Jordan, que usa as multiplicidades algébrica e geométrica para determinar o número e o tamanho dos blocos de Jordan.
Passo 2
Para cada autovalor
temos:
algébrica
, geométrica
.
algébrica
, geométrica
(todo autovalor simples tem espaço próprio unidimensional).
algébrica
, geométrica
.
Passo 3
Na teoria de Jordan, o número de blocos de Jordan para cada autovalor
é igual à sua multiplicidade geométrica
, e as somas dos tamanhos desses blocos deve dar a multiplicidade algébrica
.
- Para
temos blocos que somam tamanho 3. A única partição de 3 em 2 partes positivas é . Logo aparecem um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1. - Para
temos bloco de tamanho . - Para
temos bloco de tamanho .
Passo 4
Portanto a forma canônica de Jordan de
é a matriz em blocos diagonais
onde
Resposta
A forma de Jordan de
é