Encontre a forma canônica de Jordan das matrizes abaixo:
(a) (ll4 & 4 1 & 4).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan da matriz
A = 4 & 41 & 4
O conteúdo envolvido é a forma de Jordan: precisamos calcular o polinômio característico de A, encontrar os autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica, e então montar os blocos de Jordan.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det4-lambda & 41 & 4-lambda =(4-lambda)^2 - 4cdot1 =(4-lambda)^2 -4
Expandindo,
chiA(lambda)=lambda^2 -8lambda +16 -4 = lambda^2 -8lambda +12

Passo 3

Determinamos as raízes de chiA(lambda):
lambda^2 -8lambda +12 =0 ;Longrightarrow; lambda = 8 pm raiz64 -482 = 8 pm 42 ;Longrightarrow; lambda1=6,;lambda2=2
Porém, atenção: originalmente tínhamos (4-lambda)^2 -4=0, o que leva a lambda=4pm2, confirmando lambda1=6 e lambda2=2, cada um de multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para cada autovalor, avaliamos a dimensão do espaço próprio:
  • Para lambda1=6: A-6I = -2 & 41 & -2, o sistema (A-6I)v=0 dá uma única condição linear, logo a multiplicidade geométrica é 1, igual à algébrica.
  • Para lambda2=2: A-2I = 2 & 41 & 2, também temos uma única condição linear, logo a multiplicidade geométrica é 1, igual à algébrica.

Passo 5

Como para ambos os autovalores a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, a matriz é diagonalizável e cada bloco de Jordan é 1times1. Logo, a forma canônica de Jordan é simplesmente a matriz diagonal dos autovalores.

Resposta

J = 6 & 00 & 2

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