Dê um exemplo de:
(e) um operador em V que possua um autovalor lambda tal que Vlambda=V.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear Tcolon Vto V que tenha um autovalor lambda cujo autespaço
Vlambda=vin Vmid T(v)=lambda v
seja igual a todo o espaço V. O conteúdo aqui é definição de autovalor e autespaço.

Passo 2

Para que Vlambda=V, é necessário que todo vetor vin V satisfaça T(v)=lambda v. Em outras palavras, T deve agir como multiplicação por lambda em qualquer vetor.

Passo 3

O operador linear mais direto que faz isso é
T(v)=lambda,v
para todo vin V. Então escrevemos T=lambda I, onde I é o operador identidade em V.

Passo 4

Verificando, para qualquer vin V temos
T(v)=lambda v,
então todo vetor é autovetor de autovalor lambda. Logo o autespaço associado é
Vlambda=vin Vmid T(v)=lambda v=V

Resposta

Uma escolha simples é o operador
Tcolon Vto V, T(v)=lambda,v,
pois ele tem único autovalor lambda e seu autespaço é todo o V.

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