Dê um exemplo de:
(e) um operador em
que possua um autovalor
tal que
.
(e) um operador em
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
que tenha um autovalor
cujo autespaço
seja igual a todo o espaço
. O conteúdo aqui é definição de autovalor e autespaço.
Passo 2
Para que
, é necessário que todo vetor
satisfaça
. Em outras palavras,
deve agir como multiplicação por
em qualquer vetor.
Passo 3
O operador linear mais direto que faz isso é
para todo
. Então escrevemos
, onde
é o operador identidade em
.
Passo 4
Verificando, para qualquer
temos
então todo vetor é autovetor de autovalor
. Logo o autespaço associado é
Resposta
Uma escolha simples é o operador
pois ele tem único autovalor
e seu autespaço é todo o
.