Seja B uma base formada por autovetores de um operador linear T in L(V), onde V é um espaço vetorial sobre K. Considere B0 a base ortonormal obtida após aplicarmos o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt aos elementos da base B. É correto afirmar que B0 também é uma base formada por autovetores de T? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base B=v1,dots,vn de V formada por autovetores de um operador linear T, isto é,
T(vi)=lambdai,vi, i=1,dots,n
Aplicamos o processo de Gram–Schmidt a B para obter uma base ortonormal B0=u1,dots,un. Queremos saber se cada ui ainda é autovetor de T.

Passo 2

O primeiro vetor de Gram–Schmidt é
u1=v1|v1|
Como T(v1)=lambda1v1, segue
T(u1)=Tl(tfracv1|v1|r) =1|v1|,T(v1) =lambda1|v1|,v1 =lambda1,u1,
logo u1 é autovetor.

Passo 3

O segundo vetor de Gram–Schmidt é
w2=v2-lang<= v2,u1rang<=,u1, u2=w2|w2|
Aplicando T em w2
T(w2)=T(v2)-lang<= v2,u1rang<=,T(u1) =lambda2v2-lang<= v2,u1rang<=,lambda1u1
Para u2 ser autovetor, precisaríamos
T(w2)=mu,w2
para algum mu. Mas
T(w2) =lambda2v2-lambda1lang<= v2,u1rang<= u1
não é paralelo a
w2=v2-lang<= v2,u1rang<= u1
a menos que lambda1=lambda2 ou lang<= v2,u1rang<==0.

Passo 4

Concluímos que, em geral, o processo de Gram–Schmidt mistura componentes de autovetores de valores próprios distintos, e assim u2 não será autovetor de T salvo se
1. lambda1=lambda2 (mesmo valor próprio, isto é, dentro de mesma autoespaço), ou
2. lang<= v2,u1rang<==0 (os autovetores originais já eram ortogonais).
Em particular, se T for normal (ou seja, diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores), seus autovetores associados a valores próprios distintos são já ortogonais, e o Gram–Schmidt reduz-se à normalização de cada vi.

Resposta

Não, nem sempre. O Gram–Schmidt só preserva a propriedade de ser autovetor quando ou os autovalores coincidem (mesmo autoespaço) ou os vetores já são ortogonais — por exemplo, no caso de operadores normais. Caso contrário, os novos vetores ui deixam de ser autovetores de T.

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