Seja
uma base formada por autovetores de um operador linear
, onde
é um espaço vetorial sobre
. Considere
a base ortonormal obtida após aplicarmos o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt aos elementos da base
. É correto afirmar que
também é uma base formada por autovetores de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma base
de
formada por autovetores de um operador linear
, isto é,
Aplicamos o processo de Gram–Schmidt a
para obter uma base ortonormal
. Queremos saber se cada
ainda é autovetor de
.
Passo 2
O primeiro vetor de Gram–Schmidt é
Como
, segue
logo
é autovetor.
Passo 3
O segundo vetor de Gram–Schmidt é
Aplicando
em
dá
Para
ser autovetor, precisaríamos
para algum
. Mas
não é paralelo a
a menos que
ou
.
Passo 4
Concluímos que, em geral, o processo de Gram–Schmidt mistura componentes de autovetores de valores próprios distintos, e assim
não será autovetor de
salvo se
.
(mesmo valor próprio, isto é, dentro de mesma autoespaço), ou
.
(os autovetores originais já eram ortogonais).
Em particular, se
for normal (ou seja, diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores), seus autovetores associados a valores próprios distintos são já ortogonais, e o Gram–Schmidt reduz-se à normalização de cada
.
Resposta
Não, nem sempre. O Gram–Schmidt só preserva a propriedade de ser autovetor quando ou os autovalores coincidem (mesmo autoespaço) ou os vetores já são ortogonais — por exemplo, no caso de operadores normais. Caso contrário, os novos vetores
deixam de ser autovetores de
.