Encontre a forma canônica de Jordan das matrizes abaixo:
(d) (cccc-5 & 6 & -1 & -1 -1 & 1 & -1 & 0 2 & -2 & -2 & 1 8 & -10 & -1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan da matriz
A= -5 & 6 & -1 & -1 -1 & 1 & -1 & 0 2 & -2 & -2 & 1 8 & -10 & -1 & 2
Conteúdo: forma de Jordan. Vamos precisar do polinômio característico para achar os autovalores (e suas multiplicidades algébrica) e depois determinar a dimensão de cada autovetor (multiplicidade geométrica) para decidir o tamanho dos blocos de Jordan.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Fazendo o desenvolvimento ou usando operações de linha, chega-se a
chiA(lambda)=(lambda+1)^4
Logo o único autovalor é lambda=-1 com multiplicidade algébrica 4.

Passo 3

Agora determinamos a multiplicidade geométrica de lambda=-1 resolvendo
(A-(-1)I)x=(A+I)x=0
Aplicando eliminação de Gauss em
A+I= -4 & 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 & 0 2 & -2 & -1 & 1 8 & -10 & -1 & 3
obtemos posto 3, portanto dimker(A+I)=4-3=1. A multiplicidade geométrica de lambda=-1 é 1.

Passo 4

Como a multiplicidade algébrica de -1 é 4 e a geométrica é 1, haverá exatamente um bloco de Jordan de ordem 4 associado a esse autovalor.

Resposta

A forma canônica de Jordan de A é o bloco único J4(-1), ou seja, a matriz
-1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1

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